Kaplan–Meierモデルの可視化

Pythonで学ぶSurvival Analysis

Shae Wang

Senior Data Scientist

Kaplan–Meier生存曲線の作り方

玩具データ ($n=5$):

duration	observed
2	1
5	0
3	1
5	1
2	0

手順1: データを昇順に並べる。同値の場合は、打ち切りを非打ち切りの後に置く。

手順2: 各 $t_i$ について、$d_i$、$n_i$、$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ を計算

手順3: 各 $t_i$ で、$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ を $\big(1-\frac{d_{i-1}}{n_{i-1}}\big)$、$\big(1-\frac{d_{i-2}}{n_{i-2}}\big)$、…、$\big(1-\frac{d_0}{n_0}\big)$ と乗算

Kaplan–Meier生存曲線の作り方

手順1: 期間を昇順に並べる。同値の場合は、打ち切りを非打ち切りの後に置く。

duration
2
5+
3
5
2+

「+」で打ち切りデータを示す: 2, 5+, 3, 5, 2+

Kaplan–Meier生存曲線の作り方

手順1: 期間を昇順に並べる。同値の場合は、打ち切りを非打ち切りの後に置く。

$t_i$
2, 2+
3
5, 5+

Kaplan–Meier生存曲線の作り方

手順2: 各 $t_i$ について、$d_i$、$n_i$、$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ を計算

$t_i$
2, 2+
3
5, 5+

Kaplan–Meier生存曲線の作り方

手順2: 各 $t_i$ について、$d_i$、$n_i$、$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ を計算

$t_i$	$d_i$
2, 2+	1
3	1
5, 5+	1

Kaplan–Meier生存曲線の作り方

手順2: 各 $t_i$ について、$d_i$、$n_i$、$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ を計算

$t_i$	$d_i$	$n_i$
2, 2+	1	5
3	1	3
5, 5+	1	2

Kaplan–Meier生存曲線の作り方

手順2: 各 $t_i$ について、$d_i$、$n_i$、$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ を計算

$t_i$	$d_i$	$n_i$	$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$
2, 2+	1	5	$4/5$
3	1	3	$2/3$
5, 5+	1	2	$1/2$

Kaplan–Meier生存曲線の作り方

手順3: 各 $t_i$ で、$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$ を $\big(1-\frac{d_{i-1}}{n_{i-1}}\big)$、$\big(1-\frac{d_{i-2}}{n_{i-2}}\big)$、…、$\big(1-\frac{d_0}{n_0}\big)$ と乗算

$t_i$	$d_i$	$n_i$	$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$	$S(t_i)$
2, 2+	1	5	4/5	4/5 = 0.8
3	1	3	2/3	4/5 $\cdot$ 2/3 = 0.53
5, 5+	1	2	1/2	4/5 $\cdot$ 2/3 $\cdot$ 1/2 = 0.27

Kaplan–Meier生存曲線の作り方

$t_i$	$d_i$	$n_i$	$\big(1-\frac{d_i}{n_i}\big)$	$S(t_i)$
2, 2+	1	5	$4/5$	0.8
3	1	3	$2/3$	0.53
5, 5+	1	2	$1/2$	0.27

表から作成したKaplan–Meier曲線。

生存曲線の解釈

表から作成したKaplan–Meier曲線。

0〜5の各時点の生存確率
よくある誤解: 曲線が0に達したら、誰も生存していない。
最後の観測が打ち切りでない（真のイベント時間が既知）場合、曲線は0まで下がります。

Kaplan–Meier生存曲線のプロット

from lifelines import KaplanMeierFitter
import matplotlib.pyplot as plt

kmf = KaplanMeierFitter()
kmf.fit(durations, event_observed)

kmf.survival_function_.plot()
plt.show()

住宅ローン問題の例

DataFrame名: mortgage_df

id	duration	paid_off
1	25	0
2	17	1
3	5	0
...	...	...
100	30	1

from lifelines import KaplanMeierFitter
from matplotlib import pyplot as plt

mortgage_kmf = KaplanMeierFitter()
mortgage_kmf.fit(duration=mortgage_df["duration"], 
        event_observed=mortgage_df["paid_off"])

mortgage_kmf.survival_function_.plot()

住宅ローン問題の例

plt.show()

住宅ローン問題の生存曲線の可視化。

生存曲線の信頼区間

mortgage_kmf.plot_survival_function()
plt.show()

信頼区間つきの住宅ローン問題の生存曲線。

信頼区間はなぜ有用か

各生存確率の点推定の不確実性を定量化する方法
信頼区間が広いほど確信は低い。小標本で起こりやすい
信頼区間が狭いほど確信は高い。大標本で起こりやすい

Kaplan–Meier生存曲線の描画方法

生存関数の点推定を連続線で描画。

kmf.survival_function_.plot()
plt.show()

生存関数を連続線でプロット。

信頼区間なしで階段状に描画。

kmf.plot(ci_show=False)
plt.show()

生存関数を階段状でプロット。

Kaplan–Meier生存曲線の描画方法

信頼区間つきで階段状に描画。

kmf.plot()
plt.show()

信頼区間つきで階段状の生存関数プロット。

別の方法…

kmf.plot_survival_function()
plt.show()

Ayo berlatih!

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