バリュー・アット・リスク（VaR）

Rで学ぶGARCHモデル

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

バリュー・アット・リスク（VaR）

一般的なダウンサイドリスク指標：5% VaR。リターン分布の5%分位は、最悪5%の局面での最良リターンを表す。

年ごとの日次リターン分布

先読みアプローチが必要

ローリング窓の分位は後ろ向き:
- 事後: 過去1年の日次リターンでの5%分位は何か
- 事前: 将来リターンの予測分布の5%分位は何か
先読みのリスク管理では、GARCH推定の予測分位を用いる。
方法: ugarchroll オブジェクトに quantile() を適用。

ugarchrollから予測5%分位を得る手順

ugarchspec(): 使用するGARCHモデルを指定

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
                        variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
                        distribution.model = "sstd")

ugarchroll(): ローリング標本でGARCHを推定

garchroll <- ugarchroll(garchspec, data = sp500ret, n.start = 2500, 
                        refit.window = "moving", refit.every = 100)

quantile(): 予測分位を計算

garchVaR <- quantile(garchroll, probs = 0.05)

損失確率は変更可：1%や2.5%も一般的

損失確率5%のVaRプロット

actual <- xts(as.data.frame(garchroll)$Realized, time(garchVaR))
VaRplot(alpha = 0.05, actual = actual, VaR = garchVaR)

年ごとの日次リターン分布

超過とVaRカバレッジ

実際のリターンが予測VaRを下回ると、VaR超過（exceedance）が発生します: $ R_t \ < {VaR}_t$。

VaR超過の発生頻度をVaRカバレッジと呼びます。

# S&P 500のリターンと5%水準でのカバレッジの計算
mean(actual < garchVaR)

0.05159143

VaRカバレッジとモデル検証

損失確率 $\alpha$（例: 5%）のVaRに対するカバレッジの解釈:
- 妥当な予測モデルでは、カバレッジは設定した確率 $\alpha$ に近い。
- カバレッジが $\gg$ $\alpha$：超過が多すぎる → 予測分位が高すぎる（より負にすべき）。損失リスクを過小評価。
- カバレッジが $\ll$ $\alpha$：超過が少なすぎる → 予測分位が低すぎる（負にしすぎ）。損失リスクを過大評価。

性能を悪化させる要因

distribution.model = "std" を distribution.model = "sstd" の代わりに使用:

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
                        variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
                        distribution.model = "std")

ローリング推定と5% VaR予測:

garchroll <- ugarchroll(garchspec, data = sp500ret, n.start = 2500, 
                        refit.window = "moving", refit.every = 100)
garchVaR <- quantile(garchroll, probs = 0.05)
mean(actual < garchVaR) # returns 0.05783233

さらなる悪化

variance.model = list(model = "sGARCH")

ではなく

variance.model = list(model = "gjrGARCH"):

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
                        variance.model = list(model = "sGARCH"),
                        distribution.model = "std")

ローリング推定と5% VaR予測:

garchroll <- ugarchroll(garchspec, data = sp500ret, n.start = 2500, 
                        refit.window = "moving", refit.every = 100)
garchVaR <- quantile(garchroll, probs = 0.05)
mean(actual < garchVaR) # returns 0.06074475

さらに悪化させる場合

refit.every = 1000

ではなく

refit.every = 100:

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
                        variance.model = list(model = "sGARCH"),
                        distribution.model = "std")
garchroll <- ugarchroll(garchspec, data = sp500ret, n.start = 2500, 
                        refit.window = "moving", refit.every = 1000)
garchVaR <- quantile(garchroll, probs = 0.05)
mean(actual < garchVaR) # returns 0.06199293

ダウンサイドリスクは予測分位で考える。

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