GARCHボラティリティはリターンの時変分散をもたらす

Rで学ぶGARCHモデル

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

GARCH共分散

2つの資産リターン $R_{1,t}$ と $R_{2,t}$ の相関が $\rho$、時変ボラティリティが $\sigma_{1,t}$、$\sigma_{2,t}$ の場合、共分散は次のとおり:

$$ \sigma_{12, t} = \rho \sigma_{1, t} \sigma_{2, t} $$

GARCH共分散推定の4ステップ

ステップ1: ugarchfit() を使用して各リターン系列のGARCHモデルを推定する。

msftgarchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = garchspec) 
wmtgarchfit <- ugarchfit(data = wmtret, spec = garchspec)

ステップ2: residuals() を使用して標準化リターンを計算する。

stdmsftret <- residuals(msftgarchfit, standardize = TRUE)
stdwmtret <- residuals(wmtgarchfit, standardize = TRUE)

ステップ3: cor() を使用して標準化リターンの標本相関として $\rho$ を推定する。

msftwmtcor <- as.numeric(cor(stdmsftret, stdwmtret)) # equals 0.298795

GARCH共分散推定の4ステップ

ステップ4: 推定された相関とボラティリティを乗じてGARCH共分散を計算する

msftwmtcov <- msftwmtcor * sigma(msftgarchfit) * sigma(wmtgarchfit)

GARCH共分散

ファイナンスにおける共分散の応用

多数存在する
重要な例：ポートフォリオ分散の最適化。
以下に依存する:
- ポートフォリオウェイト
- 各資産の分散
- 資産リターン間の共分散

ポートフォリオ最適化への応用

資産1に $w_{1,t}$、資産2に $(1-w_{1,t})$ を投資した2資産ポートフォリオの分散:

$$ \sigma^{2}_{p, t} = w^{2}_{1, t} \sigma^{2}_{1, t} + (1 - w_{1, t})^{2} \sigma^{2}_{2, t} + 2 w_{1, t} (1 - w_{1, t}) \sigma_{12, t} $$

最適な $w_{1,t}$ の定義方法は多数存在する。一つのアプローチは、ポートフォリオ分散 $\sigma_{t}^2$ を最小化するよう $w_{1,t}$ を設定することである。

最小分散ポートフォリオの1階条件:

$$ \frac{\partial \sigma^{2}_{p, t}}{\partial w_{1, t}} = 2 w_{1, t} (\sigma^{2}_{1, t} + \sigma^{2}_{2, t} - 2 \sigma_{12, t}) - 2 (\sigma^{2}_{2, t} - \sigma_{12, t}) = 0 $$

最小分散ポートフォリオのウェイト

解: 最小分散ウェイト

Rでの計算:

msftvar <- sigma(msftgarchfit) ^ 2
wmtvar <- sigma(wmtgarchfit) ^ 2
msftwmtcov <- msftwmtcor * sigma(msftgarchfit) * sigma(wmtgarchfit)
msftweight <- (wmtvar - msftwmtcov) / (msftvar + wmtvar - 2 * msftwmtcov)

GARCH共分散

動的ベータ

株式のベータは株式の市場リスクを表す

株式リターンと市場リターンの共分散を、市場リターンの分散で割った値として定義される

$$ \beta_{t} = \frac{\textnormal{株式リターンと市場リターンの共分散}}{\textnormal{市場リターンの分散}} $$

リスクプレミアムの計算に必要。高いほどリスクが高く、要求収益率も高くなる。

米国株の場合、市場リターンはS&P 500のリターンを使用する。

MSTFの日次ベータ

MSTFとS&P 500リターンの共分散を計算する

msftsp500cor <- as.numeric(cor(stdmsftret, stdsp500ret))
msftsp500cov <- msftsp500cor * sigma(msftgarchfit) * sigma(sp500garchfit)

S&P 500リターンの分散を計算する

sp500var <- sigma(sp500garchfit) ^ 2

ベータを計算する

msftbeta <- msftsp500cov / sp500var

MSTFベータ

では、練習しましょう！

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