平均と分散に関する仮定を検証する

Rで学ぶGARCHモデル

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

チェック1: 標準化リターンの平均と標準偏差

標準化リターンの式

$$ Z_{t} = \frac{R_{t} - \hat{\mu_{t}}}{ \hat{\sigma_{t}}} $$

モデル妥当性の第1チェック:
- 標準化リターンの標本平均 $\approx$ 0
- 標準化リターンの標本標準偏差 $\approx$ 1

チェック2: 標準化リターンの時系列プロット

モデル妥当性の第2チェック:
- 標準化リターンの時系列プロット
- 標準化リターンの変動は一定であるべき

チェック3: 絶対標準化リターンに予測可能性なし

モデル妥当性の第3チェック:
- 過去の絶対標準化リターンと現在の絶対標準化リターンに相関がないことを確認
- つまり $k>0$ に対して $ Corr(|Z_{t-k}|, |Z_{t}|) \approx 0 $
なぜか
- 絶対標準化リターンの大きさは一定であるべき → 絶対標準化リターンに相関がない

自己相関

時系列内のこの種の相関を、次数kの自己相関と呼ぶ
- $k=1$: $Corr(|Z_{t-1}|, |Z_{t}|)$: 現在の絶対標準化リターンと1期前との相関
- $k=2$: $Corr(|Z_{t-2}|, |Z_{t}|)$: 現在の絶対標準化リターンと2期前との相関
- ...
これらはすべて0であるべき。例外:
- $k=0$: $Corr(|Z_{t}|, |Z_{t}|)$: 自身との相関＝1。

acf()

Rでは、acf()（自己相関関数）で自己相関を計算できる
- 入力: 時系列、最大次数
- 出力: コレログラム：次数 $k = 0, 1, ...$ の自己相関を示すプロット

MSFTへの適用

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
                        variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
                        distribution.model = "sstd")
garchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = garchspec)
stdmsftret <- residuals(garchfit, standardize = TRUE)

acf(abs(msftret), 22)
acf(abs(stdmsftret), 22)

チェック4: Ljung-Box検定

モデル妥当性の第4チェック:
- 絶対標準化リターン $|Z_t|$ の最初のk個の自己相関が0かを検定するLjung-Box検定: $$ H_0: Corr(|Z_t|,|Z_{t-1}|) = Corr(|Z_t|,|Z_{t-2}|) = ... = Corr(|Z_t|,|Z_{t-k}|) = 0 $$
- 推定パラメータの有意性を見る$t$検定に類似。ただし良いモデルでは0であることを望む。

目安: p値が5%未満ならモデルは不適切。

RでのLjung-Box検定

R: Box.test()（引数3つ）
- series
- 自己相関を0とみなす最大次数
- type = "Ljung-Box"

例:

Box.test(abs(stdmsftret), 22, type = "Ljung-Box")

出力: p値
- 目安: p値が5%未満ならモデルは不適切。

絶対標準化MSFTリターンでのBox.test

絶対標準化リターンでの検定:

Box.test(abs(stdmsftret), 22, type = "Ljung-Box")

    Box-Ljung test
data:  abs(stdmsftret)
X-squared = 25.246, df = 22, p-value = 0.2855

注: p値は28.55% > 5%。次を棄却できない： $$ H_0: Corr(|Z_t|,|Z_{t-1}|) = Corr(|Z_t|,|Z_{t-2}|) = ... = Corr(|Z_t|,|Z_{t-22}|) = 0 $$

絶対標準化リターンを診断しましょう。

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