ボラティリティの分析

Rで学ぶGARCHモデル

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

講師紹介

Kris Boudt
- 金融リスク予測の博士号取得
- GARCHモデルを用いた損失最小化戦略
Alexios Ghalanos 作の R パッケージ rugarch を使用。

Kris Boudt

リターンの計算

リターンで表した相対的な財務上の利益と損失

$$ R_{t} = \frac{P_{t} - P_{t-1}}{P_{t-1}} $$

PerformanceAnalytics の関数 CalculateReturns

# S&P 500 日次価格（xtsオブジェクト）を使用したRの例
library(PerformanceAnalytics)
SP500returns <- CalculateReturns(SP500prices)

S&P 500 日次リターン

日次リターンの特性：

平均リターンはゼロ
リターンのばらつきは時間とともに変化する

標準偏差 = リターンのばらつきの指標。

同義語：リターンのボラティリティ。

ギリシャ文字 $\sigma_t$。

年ごとの日次リターン分布

リターンのボラティリティ推定方法

関数 sd() で（日次）標準偏差を計算：

sd(sp500ret)

0.01099357

$T$ 個の日次リターンから $\hat \sigma$ を求める公式：

$$ \hat \sigma = \sqrt{\frac{1}{T-1} \sum_{t=1}^T (R_t - \hat \mu )^2},$$

ただし $\hat \mu$ は平均リターン。

年率換算ボラティリティ

sd(sp500ret) は日次ボラティリティ
年率換算ボラティリティ = $\sqrt{252}$ $\times$ 日次ボラティリティ

# 年率換算標準偏差の計算
sqrt(252) * sd(sp500ret)

0.1745175

年ごとの日次リターン分布

ローリング・ボラティリティ推定

ローリング推定ウィンドウ：
ウィンドウ幅は 22（取引日）の倍数。

関数 chart.RollingPerformance()

library(PerformanceAnalytics)

chart.RollingPerformance(R = sp500ret,
                         width = 22,
                         FUN = "sd.annualized",
                         scale = 252, 
                         main = "Rolling 1 month volatility")

ローリングウィンドウ・ボラティリティ

R における GARCH モデル

$\sigma_t$ の推定には GARCH などの時系列モデルが必要です。

R でのローリング標準偏差の基本を復習しましょう

Rで学ぶGARCHモデル