多変量t分布

Rによる多変量確率分布

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

多変量分布のパラメータ

分布	位置パラメータ	スケールパラメータ
正規分布	`mean`	`sigma`
t分布	`delta`	`sigma`
歪正規分布	`xi`	`Omega`
歪t分布	`xi`	`Omega`

多変量分布のパラメータ

分布	位置パラメータ	スケールパラメータ	自由度
正規分布	`mean`	`sigma`	なし
t分布	`delta`	`sigma`	あり
歪正規分布	`xi`	`Omega`	なし
歪t分布	`xi`	`Omega`	あり

一変量正規分布と一変量t分布の比較

比較

標準正規分布
異なる df のt分布

正規分布とt分布の裾の比較

同じカットオフ値に対して裾が厚い

$P(X< - 1.96 \text{ or } X > 1.96)$

分布	確率
正規分布	0.05
t(df=1)	0.3
t(df=8)	0.0857
t(df=20)	0.0641
t(df=30)	0.0593

多変量t分布の記法

一変量スチューデントのt分布の一般化
- よく使われる版はすべての次元で自由度が1つであり、次のように表記される

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

二変量正規分布とt分布の等高線

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

df = 3 のt分布の等高線

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

二変量正規分布の等高線

多変量t分布の関数

主な関数:
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

乱数サンプルの生成

$ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4$ の3次元t分布からサンプルを生成する。

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

正規分布のサンプルとの比較

自由度4のt分布

正規分布

正規分布のサンプルとの比較

自由度10のt分布

正規分布

多変量t分布からサンプルを生成してみましょう！

Rによる多変量確率分布