多変量正規分布

Rによる多変量確率分布

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

一変量正規分布

平均2、分散1の一変量正規分布

二変量正規分布の密度形状アニメーション

二変量正規密度 - 3D密度プロット

${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

サーフェス

二変量正規密度 - 等高線プロット

${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

等高線

異なる平均を持つ二変量正規密度

${\mu}={\begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

異なる分散を持つ二変量正規密度

${\mu}={\begin{pmatrix}\phantom{-}1 \\\phantom{-}2 \end{pmatrix}} ,\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}}$

強い相関を持つ二変量正規密度

${\mu}={\begin{pmatrix}\phantom{-}1 \\\phantom{-}2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix}1& 0.95 \\0.95 & 1 \end{pmatrix}}$

Rにおける統計分布の関数

最初の文字は{{1}}を表す
- p：「確率」
- q：「分位数」
- d：「密度」
- r：「乱数」

rmvnorm 関数

library(mvtnorm)
rmvnorm(n, mean , sigma)

指定が必要なパラメータ：

n：サンプル数
mean：分布の平均
sigma：分散共分散行列

rmvnorm による乱数サンプルの生成

3次元正規分布から1000サンプルを生成

$$ \mu= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} \Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}} $$

mu1 <- c(1, 2, -5) 
sigma1 <- matrix(c(1,1,0,
                  1,2,0,
                  0,0,5),3,3)
set.seed(34)                  
rmvnorm(n = 1000, mean = mu1, sigma = sigma1)

生成されたサンプルのプロットシミュレーション

多変量正規分布のシミュレーションを練習しましょう！

Rによる多変量確率分布