平均余命の計算

R による生命保険商品の評価

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

カーテート将来生存期間

$K_x = \lfloor T_x \rfloor$：$(x)$ が将来生存する $\quad \,$ 完全な年数。

$$ \large \begin{aligned} Pr(K_x = k) &= Pr(k \leq T_x < k+1) \\ &= {}_kp_x \cdot q_{x+k} \\ &= {}_kp_x - {}_{k+1}p_x, \end{aligned} $$

$Pr(K_{65} = 5) = {}_5p_{65} \cdot q_{70} = {}_{5}p_{65} - {}_{6}p_{65}$ を計算する。

# 5-year deferred mortality probability of (65) 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

# Alternatively
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) - 
  prod(px[(65 + 1):(70 + 1)])

 0.02086664

カーテート平均余命

$K_x$ の期待値をカーテート平均余命という：

$$ \begin{aligned} E[K_x] &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot Pr(K_x=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot ({}_kp_x - {}_{k+1}p_x) \\ &= \ldots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_x. \end{aligned} $$

スーパーヒーローの平均余命

ミスター・インクレディブルは35歳で、ベルギーに住んでいます。

独立したスーパーヒーローとして、財務計画を自ら管理する必要があります。

彼のカーテート将来生存期間の適切な推定値はいくつでしょうか？

計算してみましょう。

RでスーパーヒーローのE[K_35]を計算する

$E[K_{35}]= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_{35}$ を計算する。

# one-year survival probabilities
head(px[(35 + 1):length(px)])

0.99883 0.99896 0.99902 0.99879 0.99887 
0.99824

# k-year survival probabilities of (35)
kp35 <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
head(kp35)

0.9988300 0.9977912 0.9968134 0.9956072
0.9944822 0.9927319

# curtate expected future lifetime of (35)
sum(kp35)

43.53192

将来生存期間の期待値

$E[K_x]$ から $E[T_x]$ へはどう移行するか？
つまり：カーテートから完全平均余命へ？
使用する式：

$$ E[T_x] \approx E[K_x] + \frac{1}{2}, $$

RでスーパーヒーローのE[T_35]を計算する

$E[K_{35}]$ と $E[T_{35}]$ を比較する。

# Curtate life expectancy of (35)
sum(kp35)

43.53192

# Complete life expectancy of (35)
ex <- life_table$ex
ex[35 + 1]

44.03

さあ、練習しましょう！

R による生命保険商品の評価