終身・有期・据置生命年金

R による生命保険商品の評価

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

一連の給付

もし次のような場合は？
- 給付額が1EURでなく $c_k$ EURの場合？
- 1つの純養老保険ではなく、一連の純養老保険の場合？

一般設定

$(x)$ に対する生命年金（給付ベクトル）

$$ (c_0,c_1, \ldots, c_k, \ldots) $$
純養老保険の系列：
- 各々の期待現在価値（EPV）は $c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x$
- 合計：

$$ \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x $$

$\quad \, \quad \,$ がEPV。

Rによる生命年金

benefits <- c(500, 400, 300, rep(200, 5))
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (0:7)
kpx <- c(1, cumprod(px[(65 + 1):(71 + 1)]))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

1945.545

終身生命年金（期始払）

終身期始払年金：第 $(k+1)$ 年の期首に $c_k$ を支払。

終身生命年金（期末払）

終身期末払年金：第 $(k+1)$ 年の期末に $c_k$ を支払。

Rによる終身生命年金

定利率 $i = 3\%$ の場合、$\ddot{a}_{35}$（期始払）を計算

# whole-life annuity due of (35)
kpx <- 
  c(1, cumprod(px[(35 + 1):length(px)]))
discount_factors <- 
  (1 + 0.03) ^ - (0:(length(kpx) - 1))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

24.44234

および $a_{35}$（期末払）

# whole-life immediate annuity of (35)
kpx <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
discount_factors <- 
   (1 + 0.03) ^ - (1:length(kpx))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

23.44234

有期生命年金（期始払）

有期期始払年金：最大 $n$ 年間、時点 $0$ から $n-1$ まで支払。

据置終身生命年金（期始払）

据置終身期始払年金：最初の $u$ 年間は支払なし。

さあ、練習しましょう！

R による生命保険商品の評価