将来の余命（確率変数）

R による生命保険商品の評価

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

将来余命の確率変数

$(x)$ は現在 $x$ 歳の個人を表し、$x \geq 0$。
確率変数 $T_x$ は $(x)$ の将来余命。
よって、$(x)$ の死亡時の年齢は $x + T_x$。

Rで生命表を扱う

Human Mortality Database（HMD、www.mortality.org）。
life_table には2013年ベルギー男性の生命表が含まれます。

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

死亡率と生存確率

1年間の死亡確率

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$ は年齢 $x$ における死亡率。
1年間の生存確率

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
よって、$p_x = 1 - q_x$。

ベルギー人スポーツ選手の死亡率をRで確認

Eden Hazardはチェルシー所属のベルギー人サッカー選手で、27歳。

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

Eddy Merckxはツール・ド・フランスを5度制したベルギー人自転車選手で、72歳。

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

ベルギーの死亡率 $q_x$ をRで可視化

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

平均余命

$(x)$ の（完全）期待将来余命は $E[T_x]$
27歳のEden Hazardの場合:

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

72歳のEddy Merckxの場合:

ex[72 + 1]

12.67

Rで平均余命を可視化

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

では、練習しましょう！

R による生命保険商品の評価