多変量ベイズ回帰

RJAGS によるベイズモデリング

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

ボリュームのモデリング

$Y_i$ = 日$i$のトレイル利用者数

¹ Photo courtesy commons.wikimedia.org

平日によるボリュームのモデリング

$Y_i$ = 日$i$のトレイル利用者数
$X_i$ = 平日なら1、週末なら0

$\;$

気温によるボリュームのモデリング

$Y_i$ = 日$i$のトレイル利用者数
$Z_i$ = 日$i$の最高気温（$^{\circ}$F）

$\;$

気温と平日によるボリュームのモデリング

$Y_i$ = 日$i$のトレイル利用者数
$X_i$ = 平日なら1、週末なら0
$Z_i$ = 日$i$の最高気温（$^{\circ}$F）

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

週末： $m_i = a + c Z_i$

平日： $m_i = (a + b) + c Z_i$

気温と平日によるボリュームのモデリング

$Y_i$ = 日$i$のトレイル利用者数
$X_i$ = 平日なら1、週末なら0
$Z_i$ = 日$i$の最高気温（$^{\circ}$F）

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

週末： $m_i = a + c Z_i$

平日： $m_i = (a + b) + c Z_i$

気温と平日によるボリュームのモデリング

$m_i = a + bX_i + cZ_i$

週末： $m_i = a + c Z_i$

平日： $m_i = (a + b) + c Z_i$

$a$ = 週末のy切片
$a+b$ = 平日のy切片
$b$ = 平日と週末のy切片の差

$c$ = 共通の傾き
$s$ = 残差標準偏差

$a$と$b$の事前分布

気温と週末の利用者数の関係におけるy切片には不確実性があります。

同じ気温条件下での平日と週末の利用者数の差には不確実性があります。

$c$と$s$の事前分布

平日・週末を問わず、トレイル利用者数と気温の関連には不確実性があります。

トレンドからの典型的な偏差は、0から200人の間で等しく起こりうると考えられます。

平日区分によるボリュームのベイズモデル

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

RJAGSでベイズモデルを定義する

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_2 <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
    Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
    m[i] <- a + b[X[i]] + c * Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c, s
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))
  c ~ dnorm(0, 20^(-2))
  s ~ dunif(0, 200)
}"

では、練習しましょう！

RJAGS によるベイズモデリング