カテゴリ予測変数を用いたベイズ回帰

RJAGS によるベイズモデリング

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

第4章の目標

カテゴリ予測変数をベイズモデルに組み込む
多変量ベイズ回帰モデルを構築する
正規回帰モデルの手法を一般化線形モデル（ポアソン回帰）へ拡張する

レールトレイルの利用者数

目標：
マサチューセッツ州のレールトレイルにおける日次利用者数を分析する。

¹ 写真提供：commons.wikimedia.org

利用者数のモデル化

$Y_i$ = 日$i$のトレイル利用者数 $ \; $
$ \;$

モデル
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

曜日による利用者数のモデル化

$Y_i$ = 日$i$のトレイル利用者数
$X_i$ = 平日は1、週末は0

モデル
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

曜日による利用者数のモデル化

$Y_i$ = 日$i$のトレイル利用者数
$X_i$ = 平日は1、週末は0

モデル
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

曜日による利用者数のモデル化

$Y_i$ = 日$i$のトレイル利用者数
$X_i$ = 平日は1、週末は0

モデル
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + bX_i$

曜日による利用者数のモデル化

$Y_i$ = 日$i$のトレイル利用者数
$X_i$ = 平日は1、週末は0

モデル
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + bX_i$

$a$ = 週末の典型的な利用者数

$Y_i$ = 日$i$のトレイル利用者数
$X_i$ = 平日は1、週末は0

モデル
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + bX_i$

$a$ = 週末の典型的な利用者数
$a + b$ = 平日の典型的な利用者数

$b$ = 平日と週末の典型的な利用者数の差
$s$ = 残差標準偏差

$a$ と $b$ の事前分布

週末の典型的な利用者数は1日約400人と予想されるが、100人から700人の範囲も考えられる。

平日と週末の利用者数の比較は不確かであり、多い場合も少ない場合もある。

$s$ の事前分布

$\;$

日ごとの利用者数の標準偏差（平日・週末を問わず）は、0から200人の間で一様に分布すると仮定する。

曜日別利用者数のベイズモデル

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i$
$a \sim N(400, 100^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

RJAGSでベイズモデルを定義する

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i$
$a \sim N(400, 100^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]





    # Prior models for a, b, s




}"

RJAGSでベイズモデルを定義する

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i$
$a \sim N(400, 100^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]
    for(i in 1:length(Y)) {
        Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))

    }

    # Prior models for a, b, s
    a ~ dnorm(400, 100^(-2))
    s ~ dunif(0, 200)


}"

RJAGSでベイズモデルを定義する

m[i] <- a + b[X[i]]

X[1] = 週末、X[2] = 平日
b は2水準：b[1]、b[2]
週末のトレンド（$m_i = a$）
m[i] <- a + b[1]

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]
    for(i in 1:length(Y)) {
        Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
        m[i] <- a + b[X[i]]
    }

    # Prior models for a, b, s
    a ~ dnorm(400, 100^(-2))
    s ~ dunif(0, 200)


}"

RJAGSでベイズモデルを定義する

m[i] <- a + b[X[i]]

X[1] = 週末、X[2] = 平日
b は2水準：b[1]、b[2]
週末のトレンド（$m_i = a$）
m[i] <- a + b[1]
b[1] <- 0

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]
    for(i in 1:length(Y)) {
        Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
        m[i] <- a + b[X[i]]
    }

    # Prior models for a, b, s
    a ~ dnorm(400, 100^(-2))
    s ~ dunif(0, 200)
    b[1] <- 0

}"

RJAGSでベイズモデルを定義する

m[i] <- a + b[X[i]]

X[1] = 週末、X[2] = 平日
b は2水準：b[1]、b[2]
週末のトレンド（$m_i = a$）
m[i] <- a + b[1]
b[1] <- 0
平日（$m_i = a + b$）
m[i] <- a + b[2]

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]
    for(i in 1:length(Y)) {
        Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
        m[i] <- a + b[X[i]]
    }

    # Prior models for a, b, s
    a ~ dnorm(400, 100^(-2))
    s ~ dunif(0, 200)
    b[1] <- 0
    b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))
}"

b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))

練習しましょう！

RJAGS によるベイズモデリング

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