Náhodná procházka

Analýza časových řad v Pythonu

Rob Reider

Adjunct Professor, NYU-Courant Consultant, Quantopian

Co je náhodná procházka?

Dnešní cena = Včerejší cena + Šum

$\large \quad \quad \ P_t \quad \ \ = \quad P_{t-1} \quad \quad \ + \ \ \epsilon_t$

Graf simulovaných dat

Co je náhodná procházka?

Dnešní cena = Včerejší cena + Šum

$\large \quad \quad \ P_t \quad \ \ = \quad P_{t-1} \quad \quad \ + \ \ \epsilon_t$

Změna ceny je bílý šum

$\large \quad \quad P_t - P_{t-1} \quad \ \ = \quad \ \ \epsilon_t$

Náhodnou procházku nelze předpovídat
Nejlepší předpověď zítřejší ceny je dnešní cena

Co je náhodná procházka?

Dnešní cena = Včerejší cena + Šum

$\large \quad \quad \ P_t \quad \ \ = \quad P_{t-1} \quad \quad \ + \ \ \epsilon_t$

Náhodná procházka s driftem:

$\large \quad \quad \ P_t \quad \ \ = \ \mu \ + \ P_{t-1} \ \ + \quad \epsilon_t$

Změna ceny je bílý šum s nenulovým průměrem:

$\large \quad \quad P_t - P_{t-1} \ \ = \ \mu \ \ + \ \ \epsilon_t$

Statistický test náhodné procházky

Náhodná procházka s driftem

$\large \quad \quad P_t \quad \ \ = \ \mu \ \ + \ \ P_{t-1} \quad \ + \ \ \epsilon_t$

Regresní test náhodné procházky

$\large \quad \quad P_t \quad \ \ = \ \alpha \ \ + \ \ \beta \ P_{t-1} \ \ + \ \ \epsilon_t$

Test:

$\quad \quad \large H_0: \beta=1$ (náhodná procházka)

$\quad \quad \large H_1: \beta<1$ (není náhodná procházka)

Statistický test náhodné procházky

Regresní test náhodné procházky

$\large \quad \quad \quad \quad P_t \quad \ \ = \ \alpha \ \ + \ \ \beta \ P_{t-1} \quad \ + \ \ \epsilon_t$

Ekvivalentní zápis

$\large \quad \quad P_t - P_{t-1} \ \ = \ \alpha \ \ + \ \ \beta \ P_{t-1} \ \ + \ \ \epsilon_t$

Test:

$\quad \quad \large H_0: \beta=0$ (náhodná procházka)

$\quad \quad \large H_1: \beta<0$ (není náhodná procházka)

Statistický test náhodné procházky

Regresní test náhodné procházky

$\large \quad \quad P_t - P_{t-1} \ \ = \ \alpha \ \ + \ \ \beta \ P_{t-1} \ \ + \ \ \epsilon_t$

Test:

$\large \ \ \ \ H_0: \beta=0$ (náhodná procházka)

$\large \ \ \ \ H_1: \beta<0$ (není náhodná procházka)

Tento test se nazývá Dickey-Fuller test
Pokud přidáme více zpožděných změn na pravou stranu, jde o Rozšířený Dickey-Fuller test

ADF test v Pythonu

Import modulu ze statsmodels

from statsmodels.tsa.stattools import adfuller

Spuštění Rozšířeného Dickey-Fuller testu
```
adfuller(x)
```

Příklad: Je S&P500 náhodná procházka?

# Run Augmented Dickey-Fuller Test on SPX data
results = adfuller(df['SPX'])

# Print p-value
print(results[1])

0.782253808587

# Print full results
print(results)

(-0.91720490331127869,
 0.78225380858668414,
 0,
 1257,
 {'1%': -3.4355629707955395,
  '10%': -2.567995644141416,
  '5%': -2.8638420633876671},
 10161.888789598503)

Pojďme cvičit!

Analýza časových řad v Pythonu