Transformace nelineárních problémů

Introduction to Optimization in Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Maximalizace nelineární funkce

  • Umělec vytvoří až 16 obrazů s náklady $C(q) = \sqrt q$, kde $q$ je množství
  • Inverzní poptávka je $p=\frac{3}{\sqrt q}$, kde $p$ je cena
  • $\max \Pi = pq - C=\frac{3}{\sqrt q}q-\sqrt q = 2\sqrt q$

$$\max 2\sqrt q$$

$$s.t. \ \ \ \ q\leq 16 $$

Žena malující na plátno

Introduction to Optimization in Python

SciPy nebo PuLP?

  • SciPy: milp očekává lineární účelovou funkci
  • PuLP:
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
q = LpVariable('q', lowBound=0, upBound=16)
model += 2 * q**(1/2)

--> 3 model += 2 * q**(1/2)

TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'LpVariable' and 'float'
Introduction to Optimization in Python

Substituce pro linearizaci

  • Substituujte $z = \sqrt q$
  • $\rightarrow$ $\Pi=2\sqrt q =2z$
  • $\rightarrow$ kapacitní omezení $z^2\leq 16\Leftrightarrow z\leq 4$
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
z = LpVariable('z', lowBound=0, upBound=4, cat='Integer')
model += 2 * z

model.solve() 
print(f"Solution is {LpStatus[model.status]}.")
print(f"The optimal number of paintings is {round(z.varValue**2)}.")

Solution is Optimal. 
The optimal number of paintings is 16.
Introduction to Optimization in Python

Kapitálové rozpočtování se závislými projekty

Zadání problému

  • Projekty $A$, $B$, $C$; $A$ je předpokladem pro $B$
  • Zisky jsou $V$ = [250, 200, 300]
  • Požadované investice jsou $I$ = [2000, 1900, 2500] a k dispozici je pouze $4600

Modelování

  • $o_A$, $o_B$, $o_C$ binární proměnné; indikují výběr projektu

$\max\ \ o_AV_A + o_Ao_BV_B + o_CV_C$

$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_Ao_BI_B + o_CI_C\leq 4600$

Ikona správy rozpočtu

Introduction to Optimization in Python

Linearizace: součin binárních proměnných

  • Nahraďte $o_Ao_B=o_{AB}$
  • Přidejte omezení
    • $o_{AB}\leq o_{A}$
    • $o_{AB}\leq o_{B}$
    • $o_{AB}\geq o_{A} + o_{B} -1$
  • Problém se redukuje na

$$\max\ \ o_AV_A + o_{AB}V_B + o_CV_C$$

$$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_{AB}I_B + o_CI_C\leq 4600$$

$$ o_{A} + o_{B} -1 \leq o_{AB}\leq o_{A}, o_{B}$$

Introduction to Optimization in Python

Alokace zdrojů s náklady na školení

  • Přiřaďte 120 úkolů s minimálními náklady
  • Senior ($S$), junior ($J$) a stážista ($I$)
  • Náklady na školení stážisty: $500
  • Náklady na vyřešení úkolu $c$ = [30, 40, 5]
  • Vektor $x$: optimálně přiřazené úkoly
  • Binární $o$: zda stážista absolvuje školení
  • $TC = 30x_S+40x_J+(5x_I+500)o$

Osoba s tužkou stojí vedle velkého seznamu úkolů

Introduction to Optimization in Python

Linearizace: součin binární a spojité proměnné

  • Metoda BigM zavádí velké číslo M
  • Nahrazuje součin výrazem $z = (5x_I+500)o$
  • Ukládá podmínky
    • $-oM\leq z \leq oM$
    • $-(1-o)M \leq z- (5x_I+500)o \leq (1-o)M$
Introduction to Optimization in Python

Pojďme si procvičit!

Introduction to Optimization in Python

Preparing Video For Download...