Konvexní optimalizace s omezeními

Introduction to Optimization in Python

Jasmin Ludolf

Content Developer

Konvexní optimalizace s omezeními

Konvexní funkce.

Omezení: limitace proměnných
Indiferenční křivka: kombinace hodnot proměnných
Najde bod na indiferenční křivce, který minimalizuje nebo maximalizuje účelovou funkci

Indiferenční křivka

Mladá tmavovlasá žena pracuje na laptopu

Samostatná softwarová inženýrka
Hodnotí práci ($w$) a volný čas ($l$)

Užitková funkce:

$U(w, l)=w^{0.4}l^{0.6}$

Vykreslení indiferenční křivky

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


w = np.linspace(1, 30, 100)  
l = np.linspace(1, 30, 100)

W, L = np.meshgrid(w, l)

F = W**0.4 * L**0.6


plt.figure(figsize=(8, 6))

contours = plt.contour(W, L, F, levels=[5, 10, 15, 20])

plt.clabel(contours)

plt.title('Indifference Curves for the function: w**0.4 * l**0.6')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('l')
plt.grid(True)
plt.show()

Indiferenční křivka

Vizualizace indiferenční křivky

Alexii nezáleží na konkrétní kombinaci $w$ a $l$

Časové omezení

24 hodin denně
Lineární omezení rovností

$$ \max_{w,l} w^{0.4}l^{0.6}$$ $$s.t.\ \ \ w+l = 24$$

Přidání omezení do grafu:
- l = 24 - w
- plt.plot(w, l, color='red')

Indiferenční křivka a lineární omezení. Indiferenční křivka v optimálním bodě je tečnou k omezení. V bodě dotyku je gradient kolmý na omezení i tečnu.

Řešení pomocí SciPy

def utility_function(vars):
    w, l = vars
    return -(w**0.4 * l**0.6)


def constraint(vars):
    return 24 - np.sum(vars)


initial_guess = [12, 12]
constraint_definition = {'type': 'eq', 'fun': constraint}
result = minimize(utility_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
print(result.x)

[ 9.60001122 14.39998878]

Pojďme si procvičit!

Introduction to Optimization in Python