Inference o transformovaných proměnných
Inference for Linear Regression in R
Jo Hardin
Professor, Pomona College
Interpretace koeficientů – lineární
$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$, kde $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[Y_X] = \beta_0 + \beta_1 \cdot X$
$E[Y_{X+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (X+1)$
$\beta_1 = E[Y_{X+1}] - E[Y_X]$
Interpretace koeficientů – nelineární X
$Y = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$, kde $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[Y_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[Y_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[Y_{\ln(X)+1}] - E[Y_{\ln(X)}]$
Interpretace koeficientů – nelineární Y
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot X + \epsilon$, kde $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_X] = \beta_0 + \beta_1 \cdot X$
$E[\ln(Y)_{X+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (X+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{X+1}] - E[\ln(Y)_X]$
Interpretace koeficientů – obě nelineární
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$, kde $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] - E[\ln(Y)_{\ln{X}}]$
Interpretace koeficientů – obě přirozeným logaritmem (zvláštní případ)
$\ln(Y) = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X) + \epsilon$, kde $\epsilon \sim N(0, \sigma_\epsilon)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot \ln(X)$
$E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] = \beta_0 + \beta_1 \cdot (\ln(X)+1)$
$\beta_1 = E[\ln(Y)_{\ln(X)+1}] - E[\ln(Y)_{\ln{X}}]$
NEBO (pokud jsou $X$ i $Y$ transformovány přirozeným logaritmem):
$\beta_1 = $ procentní změna $Y$ při 1% změně $X$
Pojďme si procvičit!
Inference for Linear Regression in R
