Teorie extrémních hodnot

Kvantitativní řízení rizik v Pythonu

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Extrémní hodnoty

Extrémní hodnoty: z chvostů rozdělení
- Chvostové ztráty: ztráty překračující určitou hodnotu
- Modelování chvostových ztrát => lepší řízení rizik

spojnicový interval od 0 do T

spojnice od 0 do T rozdělená na podintervaly

Teorie extrémních hodnot: statistické rozdělení extrémních hodnot
Bloková maxima:
- Rozdělení období na dílčí úseky
- Vytvoření bloku z každého úseku

spojnicový interval zobrazující bloky

Teorie extrémních hodnot: statistické rozdělení extrémních hodnot
Bloková maxima:
- Rozdělení období na dílčí úseky
- Vytvoření bloků z každého úseku
- Sada blokových maxim = datová sada
Peak over threshold (POT):
- Nalezení všech ztrát nad danou hranicí
- Sada takových ztrát = datová sada

interval s bloky a maximální ztrátou na blok

Příklad: Bloková maxima pro roky 2007–2009
- Převzorkování ztrát na požadované období (např. týdně)
```
maxima = losses.resample("W").max()
```
Zobecněné rozdělení extrémních hodnot (GEV)
- Rozdělení maxim dat
- Příklad: parametrický odhad pomocí scipy.stats.genextreme
```
from scipy.stats import genextreme
params = genextreme.fit(maxima)
```

99% VaR z rozdělení GEV
- Použití .ppf() pro nalezení 99% VaR
- Vyžaduje params z fitovaného GEV rozdělení
- Odhaduje maximální ztrátu za jeden týden při 99% spolehlivosti
99% CVaR z rozdělení GEV
- CVaR je podmíněná střední hodnota ztráty za předpokladu, že VaR je minimální ztráta
- Použití metody .expect() pro výpočet střední hodnoty

VaR_99 = genextreme.ppf(0.99, *params)

CVar_99 = ( 1 / (1 - 0.99) ) * genextreme.expect(lambda x: x, *params, lb = VaR_99)

Řízení rizik: krytí ztrát
- Regulatorní požadavek (banky, pojišťovny)
- Rezervy musí být k dispozici pro krytí ztrát
  - Na stanovené období (např. jeden týden)
  - Na stanovené hladině spolehlivosti (např. 99 %)
VaR z rozdělení GEV:
- Odhaduje maximální ztrátu
  - za dané období
  - při dané hladině spolehlivosti

Příklad: Počáteční hodnota portfolia = 1 000 000 $
Týdenní požadavek na rezervu při 99% spolehlivosti
- $\text{VaR}_{99}$ z GEV: maximální ztráta za jeden týden při 99% spolehlivosti
Požadavek na rezervu: Hodnota portfolia × $\text{VaR}_{99}$
- Předpokládejme $\text{VaR}_{99}$ = 0,10, tj. maximální ztráta 10 %
- Požadavek na rezervu = 100 000 $
Hodnota portfolia se mění => požadavek na rezervu se mění
Regulace stanovuje frekvenci aktualizace požadavku na rezervu

Kvantitativní řízení rizik v Pythonu