Strukturální zlomy

Kvantitativní řízení rizik v Pythonu

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Riziko a rozdělení

Nástroje pro řízení rizik
- Zmírňování rizik: MPT
- Měření rizik: VaR, CVaR
Riziko: rozptyl, volatilita
- Rozptyl (směrodatná odchylka) jako definice rizika
Vztah mezi rizikem a rozdělením rizikových faktorů jako náhodných veličin

Stacionarita

Předpoklad: rozdělení je v čase konstantní
Neměnné rozdělení = stacionární
Eficientní hranice v období globální finanční krize
- Není stacionární
Odhadovací techniky vyžadují stacionaritu
- Historická: neznámé stacionární rozdělení z minulých dat
- Parametrická: předpokládaná třída stacionárního rozdělení
- Monte Carlo: předpokládané stacionární rozdělení pro náhodné výběry

Strukturální zlomy

Nestacionární => rozdělení se může v čase měnit
Předpokládáme konkrétní časové body změny
- Rozdělení dat na dílčí období
- V každém dílčím období předpokládáme stacionaritu
Strukturální zlom(y): bod(y) změny
- Změna „trendu" průměru nebo volatility dat

Příklad: Růst populace Číny

Zkoumané období: 1950–2019
Trend je přibližně lineární...

Graf vývoje populace Číny, 1950–2019

Příklad: Růst populace Číny

Zkoumané období: 1950–2019
Trend je přibližně lineární...
...ale od roku 1990 se zpomaluje
Možný strukturální zlom kolem roku 1990.
Naznačuje změnu rozdělení čistého přírůstku obyvatelstva (narození – úmrtí)
Možné příčiny: vládní politika, životní úroveň atd.

Graf vývoje populace Číny s trendy, 1950–2019

Chowův test

Předchozí příklad: vizuální důkaz strukturálního zlomu
Kvantifikace: statistická míra
Chowův test:
- Test existence strukturálního zlomu při lineárním modelu
- Nulová hypotéza: žádný zlom
- Vyžaduje tři OLS regrese
  - Regrese za celé období
  - Dvě regrese: před a _po_ zlomu
- Výpočet součtu čtverců reziduí
- Testová statistika má „F" rozdělení

Chowův test v Pythonu

Hypotéza: strukturální zlom v roce 1990 pro populaci Číny
Předpokládáme lineární „faktorový model": $$\log(\text{Population}_t) = \alpha + \beta * \text{Year}_t + u_t$$
OLS regrese pomocí objektu OLS z statsmodels za celé období 1950–2019
- Načtení součtu čtverců reziduí res.ssr

import statsmodels.api as sm
res = sm.OLS(log_pop, year).fit()

print('SSR 1950-2019: ', res.ssr)

SSR 1950-2019: 0.29240576138055463

Chowův test v Pythonu

Rozdělení 1950–2019 na dílčí období 1950–1989 a 1990–2019
OLS regrese pro každé dílčí období
- Načtení res_before.ssr a res_after.ssr

pop_before = log_pop.loc['1950':'1989']; year_before = year.loc['1950':'1989'];
pop_after  = log_pop.loc['1990':'2019']; year_after =  year.loc['1990':'2019'];

res_before = sm.OLS(pop_before, year_before).fit()
res_after  = sm.OLS(pop_after, year_after).fit()

print('SSR 1950-1989: ', res_before.ssr)
print('SSR 1990-2019: ', res_after.ssr)

SSR 1950-1989: 0.011741113017411783
SSR 1990-2019: 0.0013717593339608077

Chowův test v Pythonu

Výpočet testové statistiky Chowova testu s F-rozdělením
- Výpočet čitatele
  - k = 2 stupně volnosti = 2 koeficienty OLS $\alpha$, $\beta$
- Výpočet jmenovatele
  - 66 stupňů volnosti = celkový počet datových bodů (70) – 2*k

numerator = (ssr_total - (ssr_before + ssr_after)) / 2

denominator = (ssr_before + ssr_after) / 66

chow_test = numerator / denominator
print("Chow test statistic: ", chow_test, "; Critical value, 99.9%: ", 7.7)

Chow test statistic: 702.8715822890057; Critical value, 99.9%: 7.7

Pojďme si procvičit!

Kvantitativní řízení rizik v Pythonu

Preparing Video For Download...