Regrese a prognózování

Bayesian Data Analysis in Python

Michal Oleszak

Machine Learning Engineer

Lineární regrese

$$y = \beta_0 + \beta_1x_1 + \beta_2x_2 + ...$$

$$\text{sales} = \beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}$$

Frekventistická inference:
- $\text{sales} = \beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending} + \varepsilon$
- $\varepsilon \sim \mathcal{N} (0, \sigma)$

Bayesovská inference:
- $\text{sales} \sim \mathcal{N} (\beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}, \sigma)$

Normální rozdělení

normal_0_1 = np.random.normal(0, 1, size=10000)




sns.kdeplot(normal_0_1, shade=True, label="N(0,1)")



plt.show()

Hustota standardního normálního rozdělení s vrcholem v 0, symetrická kolem něj.

Normální rozdělení

normal_0_1 = np.random.normal(0, 1, size=10000)
normal_3_1 = np.random.normal(3, 1, size=10000)


sns.kdeplot(normal_0_1, shade=True, label="N(0,1)")
sns.kdeplot(normal_3_1, shade=True, label="N(3,1)")


plt.show()

Hustota normálního rozdělení s vrcholem v 3, symetrická kolem něj.

Normální rozdělení

normal_0_1 = np.random.normal(0, 1, size=10000)
normal_3_1 = np.random.normal(3, 1, size=10000)
normal_0_3 = np.random.normal(0, 3, size=10000)

sns.kdeplot(normal_0_1, shade=True, label="N(0,1)")
sns.kdeplot(normal_3_1, shade=True, label="N(3,1)")
sns.kdeplot(normal_0_3, shade=True, label="N(0,3)")

plt.show()

Hustota standardního normálního rozdělení s vrcholem v 0, symetrická kolem něj.

Definice bayesovského regresního modelu

$$\text{sales} \sim \mathcal{N} (\beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}, \sigma)$$

$$\beta_0 \sim \mathcal{N} (5, 2)$$

$$\beta_1 \sim \mathcal{N} (2, 10)$$

$$\sigma \sim \mathcal{Unif} (0, 3)$$

Bez marketingu očekáváme 5 000 prodejů.
Každých 1 000 Kč výdajů zvýší prodeje o 2 000 kusů.
Uniformní prior pro směrodatnou odchylku, protože její hodnotu neznáme.

Odhadování regresních parametrů

Mřížková aproximace → nepraktická pro mnoho parametrů
Konjugované priory a simulace ze známého posterioru → neintuitivní priory
Třetí způsob: simulace z posterioru i s nekonjugovanými priory!
Prozatím předpokládejme, že vzorky parametrů jsou dány

Zobrazení posterioru

$$\text{sales} = \beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}$$

print(marketing_spending_draws)

array([9.6153, 8.9922, ..., 4.59565])

import pymc3 as pm

pm.plot_posterior(
  marketing_spending_draws, 
  hdi_prob=0.95
)

Graf hustoty s vyznačeným průměrem a věrohodnostním intervalem.

Analýza vzorků z posterioru

posterior_draws_df = pd.DataFrame({
    "intercept_draws": intercept_draws,
    "marketing_spending_draws": marketing_spending_draws,
    "sd_draws": sd_draws
})

print(posterior_draws_df)

       intercept_draws  marketing_spending_draws      sd_draws
count     10000.000000              10000.000000  10000.000000
mean          2.972130                  5.999146      1.337621
std           3.008565                  2.020708      0.471723
min          -8.562093                 -2.842438      0.029643
25%           0.972832                  4.621807      1.003229
50%           3.002940                  5.975067      1.427617
75%           5.020615                  7.362572      1.736310
max          15.228549                 13.258955      1.999834

Prediktivní rozdělení

Kolik prodejů lze očekávat při marketingovém výdaji 1 000 $?

$\text{sales} \sim \mathcal{N} (\beta_0 + \beta_1\text{marketingSpending}, \sigma)$

# Get point estimates of parameters
intercept_mean = intercept_draws.mean()
marketing_spending_mean = marketing_spending_draws.mean()
sd_mean = sd_draws.mean()


# Calculate mean of predictive distribution
predictive_mean = intercept_mean + marketing_spending_mean * 1000


# Simulate from predictive distribution
prediction_draws = np.random.normal(predictive_mean, sd_mean, size=10000)

Prediktivní rozdělení

Kolik prodejů lze očekávat při marketingovém výdaji 1 000 $?

Zvonovitá hustota předpovězených prodejů s vrcholem okolo 5986.

Pojďme regresovat a prognózovat!

Bayesian Data Analysis in Python