Binární data a logistická regrese

Zobecněné lineární modely v Pythonu

Ita Cirovic Donev

Data Science Consultant

Binární data odezvy

Dvoutřídní odezva $\rightarrow \large{\texttt{\color{#079EA1}{0},\color{#ED715F}{1}}}$

Příklady:

Kreditní skóring $\rightarrow \texttt{\color{#ED715F}{"Default"}/\color{#079EA1}{"Non-Default"}}$
Složení testu $\rightarrow \texttt{\color{#079EA1}{"Pass"}/\color{#ED715F}{"Fail"}}$
Detekce podvodu $\rightarrow \texttt{\color{#ED715F}{"Fraud"}/\color{#079EA1}{"No-Fraud"}}$
Výběr produktu $\rightarrow \texttt{\color{#2485F2}{"Product ABC"}/\color{#F2AC30}{"Product XYZ"}}$

Binární data

NESESKUPENÁ

Jedna událost
Jeden hod mincí
Dva možné výsledky: 0/1
$Bernoulli(p)$ nebo
$Binomial(n=1,p)$

SESKUPENÁ

Více událostí
Více hodů mincí
Počet úspěchů v daném počtu $n$ pokusů
$Binomial(n,p)$

Logistická funkce

Bodový graf hodin studia a výsledku testu (složení/nesložení, 0/1)

Logistická funkce

Bodový graf hodin studia a výsledku testu (složení/nesložení, 0/1)

Výsledek testu: $PASS=1$ nebo $FAIL=0$
Chceme modelovat

$P(y=1)=\beta_0 + \beta_1x_1$

$P(\text{Pass})=\beta_0 + \beta_1 \times \text{Hours of study}$

Logistická funkce

Logistická křivka proložená daty o hodinách studia a výsledku testu (složení/nesložení, 0/1)

Výsledek testu: $PASS=1$ nebo $FAIL=0$
Chceme modelovat

$P(y=1)=\beta_0 + \beta_1x_1$

$P(\text{Pass})=\beta_0 + \beta_1 \times \text{Hours of study}$

Použijeme logistickou funkci

$f(z) = \frac{1}{(1+\exp(-z))}$

Šance a poměr šancí

$$ ODDS = \frac{\text{event occuring}}{\text{event NOT occuring}} $$

$$ \text{ODDS RATIO} = \frac{odds 1}{odds 2} $$

Příklad šance

4 zápasy
Šance jsou 3 ku 1

Šance a pravděpodobnosti

$$ \text{odds} \neq \text{probability} $$

$$ \text{odds} = \frac{\text{probability}}{1-\text{probability}} $$

$$ \text{probability} = \frac{\text{odds}}{1+\text{odds}} $$

Od modelu pravděpodobnosti k logistické regresi

Krok 1. Model pravděpodobnosti

$E(y)=\mu=P(y=1)=\beta_0 + \beta_1x_1$

Krok 2. Logistická funkce

$f(z) = \large{\frac{1}{(1+\exp(-z))}}$

Krok 3. Aplikace logistické funkce $\rightarrow$ INVERZNÍ LOGIT

$\mu = \large{\frac{1}{1+\exp(-(\beta_0+\beta_1x_1))}} = \large{\frac{\exp(\beta_0+\beta_1x_1)}{1+\exp(\beta_0+\beta_1x_1)}}$

$1-\mu = \large{\frac{1}{1+\exp(\beta_0+\beta_1x_1)}}$

Od modelu pravděpodobnosti k logistické regresi

Pravděpodobnost $\rightarrow$ šance $$ ODDS=\frac{\mu}{1-\mu} = exp{(\beta_0+\beta_1x_1)} $$
Logaritmická transformace $\rightarrow \color{#CF5383}{\text{LOGISTICKÁ REGRESE}}$

$$ LOGIT(\mu)=log(\frac{\mu}{1-\mu}) = \beta_0+\beta_1x_1 $$

Logistická regrese v Pythonu

Funkce - glm()

model_GLM = glm(formula = 'y ~ x',                        
                data = my_data, 
                family = sm.families.Binomial()).fit

Vstup

y = [0,1,1,0,...]
y = ['No','Yes','Yes',...]
y = ['Fail','Pass','Pass',...]

Pojďme si procvičit!

Zobecněné lineární modely v Pythonu