Normální rozdělení

Kvantitativní řízení rizik v R

Alexander McNeil

Professor, University of York

Definice normálního rozdělení

  • Pokud rizikové faktory sledují GBM, log-výnosy by měly být nezávislé a normálně rozdělené
  • Je tomu tak?
  • Proměnná x je normální, má-li hustotu:

$$f_X(x) = {{1} \over {\sigma \sqrt{2\pi}}} e^{-{{(x-\mu)^2} \over {\sigma ^ 2}}} $$

  • Závisí na dvou parametrech: $\mu$ a $\sigma$
Kvantitativní řízení rizik v R

Vlastnosti normálního rozdělení

  • $\mu$ je střední hodnota a $\sigma ^ 2$ je rozptyl
  • Obvyklý zápis: $X \sim N(\mu,\sigma ^2)$
  • Parametry lze snadno odhadnout z dat
  • Součet 2 a více nezávislých normálních proměnných je také normální
Kvantitativní řízení rizik v R

Centrální limitní věta (CLT)

Kvantitativní řízení rizik v R

Jak odhadnout normální rozdělení

  • Data: $X_1,...,X_n$
  • Metoda momentů:

$$\hat{\mu} = {1 \over n} {\sum_{t=1}^n}X_t $$

$$\hat{\sigma}^2_u = {1 \over {n - 1}} {\sum_{t=1}^n}(X_t - \hat{\mu})^2 $$

  • Aplikace na log-výnosy FTSE z let 2008–09
Kvantitativní řízení rizik v R

Příklad FTSE

head(ftse)

-0.09264548 -0.08178433 -0.07428657 -0.05870079 -0.05637430 -0.05496918

tail(ftse)

0.05266208 0.06006960 0.07742977 0.07936751 0.08469137 0.09384244

mu <- mean(ftse)
sigma <- sd(ftse)
c(mu, sigma)

-0.0003378627  0.0194090385
Kvantitativní řízení rizik v R

Zobrazení přizpůsobeného normálního rozdělení

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)

lines(ftse, dnorm(ftse, mean = mu, sd = sigma), col = "red")

Kvantitativní řízení rizik v R

Pojďme si procvičit!

Kvantitativní řízení rizik v R

Preparing Video For Download...