Studentovo t-rozdělení

Kvantitativní řízení rizik v R

Alexander McNeil

Professor, University of York

Studentovo t-rozdělení

$$f_X(x) = \frac{\Gamma({\frac{\nu+1}{2}})}{\sigma \sqrt{\nu\pi} \, \Gamma(\frac{\nu}{2})}{\left(1 + \frac{({x- \mu})^2} {\nu \sigma ^ 2}\right)}^{-\frac{\nu + 1}{2}} $$

Rozdělení má tři parametry: $\mu, \sigma, \nu$
Malé hodnoty $\nu$ způsobují těžší chvosty
S rostoucím $\nu$ se rozdělení blíží normálnímu

Odhad Studentova t-rozdělení

Metoda maximální věrohodnosti (ML)
fit.st() v balíčku QRM
Malá hodnota $\nu$ (2,95) pro log-výnosy FTSE z let 2008–09

library(QRM)

tfit <- fit.st(ftse)
tpars <- tfit$par.ests
tpars

          nu             mu          sigma
2.949514e+00   4.429863e-05   1.216422e-02

nu <- tpars[1]
mu <- tpars[2]
sigma <- tpars[3]

Zobrazení odhadnutého Studentova t-rozdělení

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)
lines(ftse, dnrom(ftse, mean = mean(ftse), sd = sd(ftse)), col = "red")

yvals <- dt((ftse - mu)/sigma, df = nu)/sigma
lines(ftse, yvals, col = "blue")

Pojďme procvičovat!

Kvantitativní řízení rizik v R