Balíček rugarch

GARCH modely v R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Normální model GARCH(1,1) s konstantní střední hodnotou

Normální model GARCH

$$ R_t = \mu + e_t $$ $$ e_t \sim N(0, \sigma^2_t) $$ $$ \sigma^2_t = \omega + \alpha e^2_{t-1} + \beta \sigma^2_{t-1} $$

Čtyři parametry: $\mu, \omega, \alpha, \beta$.
Odhad metodou maximální věrohodnosti: nalezení hodnot parametrů, při nichž je nejpravděpodobnější, že model GARCH vygeneroval pozorovanou řadu výnosů.

Alexios Ghalanos

library(rugarch)
citation("rugarch")

To cite the rugarch package, please use:

Alexios Ghalanos (2018). rugarch: Univariate GARCH models.R package version 1.4-0.

Pracovní postup

Tři kroky:
- ugarchspec(): Specifikace modelu GARCH (střední hodnota $\mu_t$, rozptyl $\sigma^2_t$, rozdělení $e_t$)
  - ugarchfit(): Odhad modelu GARCH na základě časové řady výnosů $R_1,...,R_T$.
  - ugarchforecast(): Prognóza volatility pro $R_{T+1}$,... pomocí odhadnutého modelu.

Pracovní postup v R

ugarchspec() specifikuje model GARCH, který chcete použít.

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(0,0)),
                           variance.model = list(model = "sGARCH"),
                           distribution.model = "norm")

ugarchfit() odhaduje model GARCH.

garchfit <- ugarchfit(data = sp500ret, spec = garchspec)

ugarchforecast() předpovídá volatilitu budoucích výnosů.

garchforecast <- ugarchforecast(fitORspec = garchfit, n.ahead = 5)

Objekt ugarchfit

Objekt ugarchfit obsahuje všechny výsledky odhadu modelu GARCH.
Metody coef, uncvar, fitted a sigma:

# Coefficients
garchcoef <- coef(garchfit)
# Unconditional variance
garchuncvar <- uncvariance(garchfit)
# Predicted mean
garchmean <- fitted(garchfit) 
# Predicted volatilities
garchvol <- sigma(garchfit)

Koeficienty GARCH pro denní výnosy S&P 500

print(garchcoef)

          mu        omega       alpha1        beta1 
5.728020e-04 1.220515e-06 7.792031e-02 9.111455e-01

$$ R_{t} = 5.7 \times 10^{-4} + e_{t} $$ $$ e_{t} \sim N(0, \hat{\sigma}^{2}_{t}) $$ $$ \hat{\sigma}^{2}_{t} = 1.2 \times 10^{-6} + 0.08 e^{2}_{t-1} + 0.91 \hat{\sigma}^{2}_{t-1} $$

sqrt(garchuncvar)

0.01056519

Odhadnuté volatility

garchvol <- sigma(garchfit)
plot(garchvol)

Co budoucí volatilita?

tail(garchvol, 1)

2017-12-29 0.004862908

Jaká bude volatilita v dnech po konci časové řady?

Prognóza volatility h dní dopředu

Metoda sigma() aplikovaná na objekt ugarchforecast vrátí prognózy volatility:

sigma(garchforecast)

      2017-12-29
T+1  0.005034754
T+2  0.005127582
T+3  0.005217770
T+4  0.005305465
T+5  0.005390797

Prognóza volatility h dní dopředu

Metoda fitted() aplikovaná na objekt ugarchforecast vrátí prognózy střední hodnoty:

fitted(garchforecast)

      2017-12-29
T+1  0.000572802
T+2  0.000572802
T+3  0.000572802
T+4  0.000572802
T+5  0.000572802

Využití při taktické alokaci aktiv

Portfolio, které investuje podíl $w$ do rizikového aktiva (s volatilitou $\sigma_t$) a drží $1-w$ na bezrizikovém bankovním účtu, má volatilitu

$$ \sigma_p = w \sigma_t$$

Jak nastavit $w$? Jeden přístup je cílování volatility: $w$ je zvoleno tak, aby předpokládaná anualizovaná volatilita portfolia odpovídala cílové úrovni, např. 5 %. Pak platí:

$$ w^* = 0.05 /\sigma_t $$

Protože se volatility GARCH mění, mění se i optimální váha.

Pojďme si pohrát s rugarch!

GARCH modely v R