Ověřte předpoklady o střední hodnotě a rozptylu

GARCH modely v R

Kris Boudt

Professor of finance and econometrics

Kontrola 1: Průměr a směrodatná odchylka standardizovaných výnosů

Vzorec standardizovaných výnosů

$$ Z_{t} = \frac{R_{t} - \hat{\mu_{t}}}{ \hat{\sigma_{t}}} $$

První kontrola platnosti modelu:
- Výběrový průměr standardizovaných výnosů $\approx$ 0
- Výběrová směrodatná odchylka standardizovaných výnosů $\approx$ 1

Kontrola 2: Graf časové řady standardizovaných výnosů

Druhá kontrola platnosti modelu:
- graf časové řady standardizovaných výnosů
- standardizované výnosy by měly mít konstantní variabilitu

Kontrola 3: Žádná předvídatelnost absolutních standardizovaných výnosů

Třetí kontrola platnosti modelu:
- ověřte, že neexistuje korelace mezi minulým a aktuálním absolutním standardizovaným výnosem.
- to znamená: $ Corr(|Z_{t-k}|, |Z_{t}|) \approx 0, $ pro $k>0$
Proč?
- Velikost absolutního standardizovaného výnosu by měla být konstantní $\rightarrow$ žádné korelace v absolutních standardizovaných výnosech.

Autokorelace

Takovéto korelace v rámci časové řady se nazývají autokorelace řádu k
- $k=1$: $Corr(|Z_{t-1}|, |Z_{t}|)$: Korelace aktuálního absolutního standardizovaného výnosu s předchozí hodnotou.
- $k=2$: $Corr(|Z_{t-2}|, |Z_{t}|)$: Korelace aktuálního absolutního standardizovaného výnosu s hodnotou před dvěma obdobími.
- ...
Všechny by měly být 0. Výjimka:
- $k=0$: $Corr(|Z_{t}|, |Z_{t}|)$: Korelace absolutního standardizovaného výnosu se sebou samým: rovná se 1.

acf()

V R lze autokorelace vypočítat pomocí funkce acf()
- Vstup: časová řada, maximální řád
- Výstup: korelogram: graf zobrazující hodnoty autokorelace pro různé řády $k = 0, 1, ...$.

Aplikace na MSFT

garchspec <- ugarchspec(mean.model = list(armaOrder = c(1, 0)),
                        variance.model = list(model = "gjrGARCH"),
                        distribution.model = "sstd")
garchfit <- ugarchfit(data = msftret, spec = garchspec)
stdmsftret <- residuals(garchfit, standardize = TRUE)

acf(abs(msftret), 22)
acf(abs(stdmsftret), 22)

Kontrola 4: Ljung-Boxův test

Čtvrtá kontrola platnosti modelu:
- Ljung-Boxův test, že prvních k autokorelací v absolutních standardizovaných výnosech $|Z_t$| je nula: $$ H_0: Corr(|Z_t|,|Z_{t-1}|) = Corr(|Z_t|,|Z_{t-2}|) = ... = Corr(|Z_t|,|Z_{t-k}|) = 0 $$
- Podobné jako $t$-test pro statistickou významnost odhadovaných parametrů, zde však požadujeme hodnotu 0 pro platný model.

Heuristické pravidlo: p-hodnota nižší než 5 % naznačuje, že použitý model není platný.

Ljung-Boxův test v R

V R: funkce Box.test() se 3 argumenty:
- řada
- maximální řád, pro který jsou autokorelace nulové
- type = "Ljung-Box"

Příklad:

Box.test(abs(stdmsftret), 22, type = "Ljung-Box")

Výstup: p-hodnota
- Heuristické pravidlo: p-hodnota nižší než 5 % naznačuje, že použitý model není platný.

Box.test na absolutních standardizovaných výnosech MSFT

Test na absolutních standardizovaných výnosech:

Box.test(abs(stdmsftret), 22, type = "Ljung-Box")

    Box-Ljung test
data:  abs(stdmsftret)
X-squared = 25.246, df = 22, p-value = 0.2855

Poznámka: p-hodnota je 28,55 % > 5 %. Nelze zamítnout: $$ H_0: Corr(|Z_t|,|Z_{t-1}|) = Corr(|Z_t|,|Z_{t-2}|) = ... = Corr(|Z_t|,|Z_{t-22}|) = 0 $$

Pojďme diagnostikovat absolutní standardizované výnosy.

GARCH modely v R