Fitting Kaplan-Meierova odhadce
Survival Analysis in Python
Shae Wang
Senior Data Scientist
Co je Kaplan-Meierův odhadce?
Neparametrická statistika, která odhaduje funkci přežití dat time-to-event.
- Také známá jako
- odhadce součinového limitu
- K-M odhadce
- Neparametrická: sestavuje křivku přežití z naměřených dat bez předpokladu o rozdělení
Matematická intuice
Definice:
- $t_i$: čas události
- $d_i$: počet událostí v čase $t_i$
- $n_i$: počet jedinců, kteří přežili do času $t_i$
Funkce přežití $S(t)$ je odhadována jako: $$S(t)=\prod_{i:t_i\leq t}\bigg(1-\frac{d_i}{n_i}\bigg)$$
Proč se nazývá odhadce součinového limitu?
Předpokládejme události ve 3 časech: 1, 2, 3
Míra přežití pro $t=2$: $$S(t=2)=\bigg(1-\frac{d_1}{n_1}\bigg)*\bigg(1-\frac{d_2}{n_2}\bigg)$$
Míra přežití pro $t=3$: $$S(t=3)=S(t=2)*\bigg(1-\frac{d_3}{n_3}\bigg)$$
Míra přežití v čase t je součinem pravděpodobností přežití v čase t a ve všech předchozích časech.
Předpoklady, které je třeba mít na paměti
- Jednoznačné události: sledovaná událost nastane v přesně určeném čase.
- Srovnatelné pravděpodobnosti přežití: pravděpodobnost přežití jedince nezávisí na tom, kdy vstoupil do studie.
- Cenzorování je neinformativní: cenzorovaná pozorování mají stejné vyhlídky přežití jako sledovaná pozorování.
Kaplan-Meierův odhadce s lifelines
from lifelines import KaplanMeierFitter
KaplanMeierFitter: třída knihovny lifelines
kmf = KaplanMeierFitter()
kmf.fit(durations, event_observed)
Příklad: problém s hypotékami
Název DataFrame: mortgage_df
| id | duration | paid_off |
|---|---|---|
| 1 | 25 | 0 |
| 2 | 17 | 1 |
| 3 | 5 | 0 |
| ... | ... | ... |
| 100 | 30 | 1 |
Příklad: problém s hypotékami
Název DataFrame: mortgage_df
| id | duration | paid_off |
|---|---|---|
| 1 | 25 | 0 |
| 2 | 17 | 1 |
| 3 | 5 | 0 |
| ... | ... | ... |
| 100 | 30 | 1 |
from lifelines import KaplanMeierFitter
mortgage_kmf = KaplanMeierFitter()
mortgage_kmf.fit(duration=mortgage_df["duration"],
event_observed=mortgage_df["paid_off"])
<lifelines.KaplanMeierFitter:"KM_estimate",
fitted with 100 total observations,
18 right-censored observations>
Použití Kaplan-Meierova odhadce
Jaká je střední délka nesplacené hypotéky?
print(mortgage_kmf.median_survival_time_)
4.0
Jaká je pravděpodobnost, že hypotéka zůstane nesplacená každý rok po zahájení?
print(mortgage_kmf.survival_function_)
KM_estimate
timeline
0.0 1.000000
1.0 0.983267
2.0 0.950933
3.0 0.892328
Použití Kaplan-Meierova odhadce
Jaká je pravděpodobnost, že hypotéka nebude splacena do 34. roku po zahájení?
mortgage_kmf.predict(34)
0.037998
Výhody a omezení
Výhody
- Intuitivní interpretace pravděpodobností přežití.
- Flexibilní použití pro jakákoli data time-to-event.
- Obvykle první model k vyzkoušení na datech time-to-event.
Omezení
- Křivka přežití není hladká.
- Pokud je 50 % nebo více dat cenzorováno,
.median_survival_time_nelze vypočítat. - Není vhodný pro analýzu vlivu kovariátů na funkci přežití.
Pojďme si procvičit!
Survival Analysis in Python
