Fitování modelu Coxovy proporcionální hazardní regrese

Survival Analysis in Python

Shae Wang

Senior Data Scientist

Hazardní funkce a míra hazardu

Hazardní funkce $h(t)$: popisuje pravděpodobnost výskytu události v daném čase při přežití do tohoto okamžiku.

Míra hazardu: okamžitá rychlost výskytu události

$$h(t)=-\frac{d}{dt}logS(t)$$

Hazardní funkce $h(t)$ a funkce přežití $S(t)$ lze vzájemně odvodit.

Předpoklad proporcionálních hazardů

Předpoklad proporcionálních hazardů: hazardy všech jedinců jsou vzájemně proporcionální.

Pro jedince $A$ a jedince $B$: $$h_A(t)=ch_B(t)$$

Existuje základní hazardní funkce a ostatní hazardy jsou definovány pomocí škálovacích faktorů.
Relativní vliv přežití spojený s proměnnou se nemění v čase (časově invariantní).

Srovnání předpokladu proporcionálních hazardů pro dvě křivky přežití

Model Coxovy proporcionální hazardní regrese

Na základě předpokladu proporcionálních hazardů: $$h(t|x)=b_0(t)exp\bigg(\sum^{n}_{i=1}b_i(x_i-\overline{x_i}\bigg)$$

$b_0(t)$: základní hazardní funkce na úrovni populace, která se mění v čase.

$exp\bigg(\sum^{n}_{i=1}b_i(x_i-\overline{x_i}\bigg)$: lineární vztah mezi kovariáty a logaritmem hazardu, který se v čase NEMĚNÍ.

Model Coxovy proporcionální hazardní regrese (Cox PH) je regresní model, který regresuje kovariáty na dobu do události/trvání.

Požadavky na data pro model Cox PH

Trvání: délka života/trvání jedinců.
Události: zda byla událost pozorována (1=Ano, 0=Ne, cenzorováno).
- Pokud není zadáno, model předpokládá, že žádný subjekt není cenzorován.
Kovariáty: spojité nebo kategoriální proměnné zakódované metodou one-hot pro regresi.

Fitování modelu Cox PH

Importujte a vytvořte instanci třídy CoxPHFitter

from lifelines import CoxPHFitter
coxph = CoxPHFitter()

Volejte .fit() pro přizpůsobení odhadce datům
```
coxph.fit(df, duration_col, event_col)
```
Přístup k dalším vlastnostem: souhrn modelu, kovariáty, koeficienty, predikce, vizualizace atd.
```
coxph.summary()
coxph.predict()
```

Příklad modelu Cox PH

DataFrame: mortgage_df
Kovariáty:
- house
- principal
- interest
- property_tax
- credit_score
Ostatní sloupce: duration, paid_off

from lifelines import CoxPHFitter

coxph = CoxPHFitter()
coxph.fit(df=mortgage_df,
          duration_col="duration",
          event_col="paid_off")

Vlastní model

Filtrujte DataFrame:

new_df = mortgage_df.loc[:, 
          mortgage_df.columns!="house"]
coxph.fit(df=new_df,
          duration_col="duration",
          event_col="paid_off")

Použijte parametr formula:

coxph.fit(df=mortgage_df,
          duration_col="duration",
          event_col="paid_off",
          formula="principal + interest 
          + property_tax + credit_score")

Přehlednější a pohodlnější, ale nevhodné pro velký počet kovariátů.

Interpretace koeficientů

print(coxph.summary)

<lifelines.CoxPHFitter: fitted with 1808 observations, 340 censored>
                        coef  exp(coef)  se(coef)      z       p
covariate house        -0.38       0.68      0.19. -1.98    0.05
          principal    -0.06       0.94      0.02  -2.61    0.01
          interest      0.31       1.37      0.31   1.02    0.31
          property_tax -0.15       0.86      0.21  -0.71    0.48
          credit_score -0.43       0.65      0.38  -1.14.   0.26

Poměr hazardů: $e^{coef}$
- Nárůst interest o jednu jednotku od mediánu -> hazardy se změní o faktor $e^{0.31}=1.37$, tedy o 37 % oproti základnímu hazardu.

Pojďme si to procvičit!

Survival Analysis in Python