Výpočet střední délky života

Oceňování produktů životního pojištění v R

Roel Verbelen, Ph.D.

Statistician, Finity Consulting

Zkrácená délka budoucího života

$K_x = \lfloor T_x \rfloor$, počet celých let, které (x) $\quad \,$ ještě prožije.

$$ \large \begin{aligned} Pr(K_x = k) &= Pr(k \leq T_x < k+1) \\ &= {}_kp_x \cdot q_{x+k} \\ &= {}_kp_x - {}_{k+1}p_x, \end{aligned} $$

Vypočítejte $Pr(K_{65} = 5) = {}_5p_{65} \cdot q_{70} = {}_{5}p_{65} - {}_{6}p_{65}$.

# 5-year deferred mortality probability of (65) 
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) * qx[70 + 1]

0.02086664

# Alternatively
prod(px[(65 + 1):(69 + 1)]) - 
  prod(px[(65 + 1):(70 + 1)])

 0.02086664

Zkrácená střední délka života

Střední hodnota $K_x$ se nazývá zkrácená střední délka života:

$$ \begin{aligned} E[K_x] &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot Pr(K_x=k) \\ &= \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot ({}_kp_x - {}_{k+1}p_x) \\ &= \ldots \\ &= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_x. \end{aligned} $$

Střední délka života superhrdiny

Pan Úžasňák je 35 let starý a žije v Belgii.

Jako nezávislý superhrdina se musí starat o své finanční plánování.

Jaký je dobrý odhad jeho zkrácené délky budoucího života?

Můžete pomoci?

Střední délka života superhrdiny v R

Vypočítejte $E[K_{35}]= \sum_{k=1}^{\infty} {}_kp_{35}$.

# one-year survival probabilities
head(px[(35 + 1):length(px)])

0.99883 0.99896 0.99902 0.99879 0.99887 
0.99824

# k-year survival probabilities of (35)
kp35 <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
head(kp35)

0.9988300 0.9977912 0.9968134 0.9956072
0.9944822 0.9927319

# curtate expected future lifetime of (35)
sum(kp35)

43.53192

Očekávaná délka budoucího života

Jak přejít od $E[K_x]$ k $E[T_x]$?
Tedy: od zkrácené k úplné střední délce života?
Použijeme:

$$ E[T_x] \approx E[K_x] + \frac{1}{2}, $$

Střední délka života superhrdiny v R

Porovnejte $E[K_{35}]$ a $E[T_{35}]$.

# Curtate life expectancy of (35)
sum(kp35)

43.53192

# Complete life expectancy of (35)
ex <- life_table$ex
ex[35 + 1]

44.03

Lass uns üben!

Oceňování produktů životního pojištění v R