Celá, dočasná a odložená životní renta

Oceňování produktů životního pojištění v R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Série dávek

Co kdyby?
- Dávka činí $c_k$ EUR místo 1 EUR?
- Série takových čistých endowmentů místo jednoho?

Obecné nastavení

Životní renta na $(x)$ s vektorem dávek

$$ (c_0,c_1, \ldots, c_k, \ldots) $$
Posloupnost čistých endowmentů:
- každý s EPV $c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x$
- celkem:

$$ \sum_{k=0}^{+\infty} c_k \cdot v(k) \cdot {}_kp_x $$

$\quad \, \quad \,$ EPV.

Životní renty v R

benefits <- c(500, 400, 300, rep(200, 5))
discount_factors <- (1 + 0.03) ^ - (0:7)
kpx <- c(1, cumprod(px[(65 + 1):(71 + 1)]))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

1945.545

Doživotní renta předem

Doživotní renta předem: platba $c_k$ na začátku roku $(k+1)$.

Doživotní renta pozadu

Doživotní renta pozadu: platba $c_k$ na konci roku $(k+1)$.

Doživotní renty v R

Výpočet $\ddot{a}_{35}$ (předem) při konstantní úrokové míře $i = 3\%$

# whole-life annuity due of (35)
kpx <- 
  c(1, cumprod(px[(35 + 1):length(px)]))
discount_factors <- 
  (1 + 0.03) ^ - (0:(length(kpx) - 1))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

24.44234

a $a_{35}$ (pozadu)

# whole-life immediate annuity of (35)
kpx <- cumprod(px[(35 + 1):length(px)])
discount_factors <- 
   (1 + 0.03) ^ - (1:length(kpx))
benefits <- rep(1, length(kpx))
sum(benefits * discount_factors * kpx)

23.44234

Dočasná životní renta předem

Dočasná renta předem: nejvýše $n$ let, v čase $0$ až $n-1$.

Odložená doživotní renta předem

Odložená doživotní renta předem: bez plateb v prvních $u$ letech.

Pojďme procvičovat!

Oceňování produktů životního pojištění v R