Náhodná budoucí délka života

Oceňování produktů životního pojištění v R

Katrien Antonio, Ph.D.

Professor, KU Leuven and University of Amsterdam

Náhodná budoucí délka života

$(x)$ označuje jedince ve věku $x$ v daném okamžiku, kde $x \geq 0$.
Náhodná veličina $T_x$ je budoucí délka života jedince $(x)$.
Věk při úmrtí jedince $(x)$ je tedy $x + T_x$.

Úmrtnostní tabulka v R

Human Mortality Database (HMD, www.mortality.org).
life_table obsahuje periodickou úmrtnostní tabulku pro muže v Belgii za rok 2013.

head(life_table, 10)

   age      qx     lx  dx    ex
1    0 0.00381 100000 381 77.95
2    1 0.00047  99619  47 77.24
3    2 0.00019  99572  19 76.28
4    3 0.00015  99553  15 75.30
5    4 0.00013  99538  13 74.31
6    5 0.00010  99525  10 73.32
7    6 0.00011  99514  11 72.32
8    7 0.00008  99504   8 71.33
9    8 0.00011  99496  11 70.34
10   9 0.00008  99485   8 69.34

Míry úmrtnosti a pravděpodobnosti přežití

Jednoletá pravděpodobnost úmrtí

$$ q_x = \text{Pr}(T_x \leq 1). $$

$\quad \;$ $q_x$ je míra úmrtnosti ve věku $x$.
Jednoletá pravděpodobnost přežití

$$ p_x = \text{Pr}(T_x > 1). $$
Tedy $p_x = 1 - q_x$.

Míry úmrtnosti belgických sportovců v R

Eden Hazard je belgický fotbalista, který hraje za Chelsea a je mu 27 let.

age <- life_table$age
qx <- life_table$qx
qx[age == 27]

0.00062

qx[27 + 1]

0.00062

Eddy Merckx je belgický cyklista, který pětkrát vyhrál Tour de France, a je mu 72 let.

qx[age == 72]

0.02631

qx[72 + 1]

0.02631

Vizualizace belgických měr úmrtnosti $q_x$ v R

plot(age, log(qx), main = "Log mortality rates (Belgium, males, 2013)",
     xlab = "Age x", ylab = expression(paste("Log mortality rate ", log(q[x]))), 
     type = "l")

Střední délka života

(Úplná) střední budoucí délka života jedince $(x)$ je $E[T_x]$
Pro Edena Hazarda ve věku 27 let:

ex <- life_table$ex
ex[27 + 1]

51.74

Pro Eddyho Merckxe ve věku 72 let:

ex[72 + 1]

12.67

Vizualizace střední délky života v R

plot(age, ex, main = "Life expectancy (Belgium, males, 2013)", xlab = "Age x", 
     ylab = expression(paste("Life expectancy E[", T[x], "]")), type = "l")

Pojďme procvičovat!

Oceňování produktů životního pojištění v R