Vícerozměrná t-rozdělení

Multivariate Probability Distributions in R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Parametry vícerozměrných rozdělení

Rozdělení	Parametr polohy	Parametr měřítka
Normální	`mean`	`sigma`
t	`delta`	`sigma`
Šikmé normální	`xi`	`Omega`
Šikmé t	`xi`	`Omega`

Parametry vícerozměrných rozdělení

Rozdělení	Parametr polohy	Parametr měřítka	Stupně volnosti
Normální	`mean`	`sigma`	Ne
t	`delta`	`sigma`	Ano
Šikmé normální	`xi`	`Omega`	Ne
Šikmé t	`xi`	`Omega`	Ano

Porovnání jednorozměrného normálního a t-rozdělení

Porovnání

Standardní normální rozdělení
t-rozdělení s různými df

Porovnání chvostů normálního a t-rozdělení

Těžší chvosty pro stejnou mez

$P(X< - 1.96 \text{ or } X > 1.96)$

Rozdělení	Pravděpodobnost
Normální	0.05
t(df=1)	0.3
t(df=8)	0.0857
t(df=20)	0.0641
t(df=30)	0.0593

Notace vícerozměrného t-rozdělení

Zobecnění jednorozměrného Studentova t-rozdělení
- Široce používaná verze má jediný stupeň volnosti pro všechny dimenze a je označována

$$t_{df}(\delta, \Sigma ) $$

Vrstevnice bivariátního normálního a t-rozdělení

${\mu}=\delta={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

Vrstevnice t-rozdělení s df = 3

${\begin{matrix} ~ \\ ~ \end{matrix}}$

Vrstevnice bivariátního normálního rozdělení

Funkce pro vícerozměrná t-rozdělení

Dostupné funkce:
- rmvt(n, delta, sigma, df)
- dmvt(x, delta, sigma, df)
- qmvt(p, delta, sigma, df)
- pmvt(upper, lower, delta, sigma, df)

Generování náhodných vzorků

Generování vzorků z 3-dimenzionálního t-rozdělení s $ \delta= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} ,~~\Sigma={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, ~~df = 4.$

# Specify delta and sigma
delta <- c(1, 2, -5) 
sigma <- matrix(c(1, 1, 0,
                  1, 2, 0,
                  0, 0, 5), 3, 3)

# Generate samples                  
t.sample <- rmvt(n = 2000, delta = delta, sigma = sigma, df = 4)
head(t.sample,4)

       [,1]   [,2]    [,3]
[1,] -1.256 -1.518 -12.340
[2,]  1.479  1.908  -7.647
[3,] -0.152  1.357  -9.011
[4,]  1.938  2.531  -4.534

Porovnání s normálními vzorky

t-rozdělení se 4 stupni volnosti

Normální rozdělení

Porovnání s normálními vzorky

t-rozdělení s 10 stupni volnosti

Normální rozdělení

Generujme vzorky z vícerozměrného t-rozdělení!

Multivariate Probability Distributions in R