Kumulativní rozdělení a inverzní CDF

Multivariate Probability Distributions in R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Kdy je třeba vypočítat CDF a inverzní CDF?

Normální hustota s $\mu=210$ a $\sigma=10$

Kdy je třeba vypočítat CDF a inverzní CDF?

Plocha pod křivkou pro $x < 200$

Kdy je třeba vypočítat CDF a inverzní CDF?

pnorm(200, mean = 210, sd = 10)

[1] 0.159

Kdy je třeba vypočítat CDF a inverzní CDF?

Jaké je $x_0$ takové, že kumulativní pravděpodobnost v $x_0$ je 0,95?

qnorm( p = 0.95, mean = 210, sd = 10)

[1] 226.45

$\Rightarrow$ 95 % dóz s kávou bude obsahovat méně než 226,45 gramů kávy

Kumulativní rozdělení pro bivariátní normální rozdělení

Bivariátní CDF pro x = 2 a y = 4 pro normální rozdělení s ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & .5 \\ .5 & 2 \end{pmatrix}}$

Kumulativní rozdělení pomocí pmvnorm

Bivariátní CDF pro x = 2 a y = 4 pro normální rozdělení s ${\mu}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Sigma }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$

mu1 <- c(1, 2)
sigma1 <- matrix(c(1, 0.5, 0.5, 2), 2)

pmvnorm(upper = c(2, 4), mean = mu1, sigma = sigma1)

[1] 0.79
attr(,"error")
[1] 1e-15
attr(,"msg")
[1] "Normal Completion"

Pravděpodobnost mezi dvěma hodnotami pomocí pmvnorm

Pravděpodobnost $ 1 < x <2$ a $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

Pravděpodobnost mezi dvěma hodnotami pomocí pmvnorm

Pravděpodobnost $ 1 < x <2$ a $2 < y < 4$

pmvnorm(lower = c(1, 2), 
          upper = c(2, 4), 
             mean = mu1, 
              sigma = sigma1)

[1] 0.163

Inverzní CDF pro bivariátní normální rozdělení

Tmavě červená elipsa je 0,95 kvantil

qmvnorm

Výpočet kvantilů pomocí qmvnorm

sigma1 <- diag(2)
sigma1

     [,1] [,2]
[1,]    1    0
[2,]    0    1

qmvnorm(p = 0.95, sigma = sigma1, tail = "both")

$quantile
[1] 2.24
$f.quantile
[1] -1.31e-06
attr(,"message")
[1] "Normal Completion"

Červená kružnice s poloměrem 2,24 obsahuje 0,95 pravděpodobnosti

Pojďme si procvičit!

Multivariate Probability Distributions in R