Vícerozměrná zkosená rozdělení

Multivariate Probability Distributions in R

Surajit Ray

Professor, University of Glasgow

Zkosené vícerozměrné rozdělení: bodový graf

Data průtokové cytometrie – boční rozptyl (SSC) a přední rozptyl (FSC)

Zkosené vícerozměrné rozdělení: vrstevnicový graf

Data průtokové cytometrie – boční rozptyl (SSC) a přední rozptyl (FSC)

Jednorozměrné zkosené normální rozdělení

Obecné zkosené normální rozdělení se označuje $SN(\xi,\omega,\alpha)$

$\xi$ a $\omega$ jsou parametry polohy a měřítka

Nejjednodušší tvar: $z \sim SN(\alpha) $

$\alpha$ je parametr zkosení

Rozsah jednorozměrných zkosených normálních rozdělení

Porovnání $SN(\alpha)$ se standardním normálním rozdělením

Pro $\alpha>0$ zkosení doprava
Pro $\alpha<0$ zkosení doleva
$SN(0)$ odpovídá standardnímu normálnímu rozdělení

Vícerozměrné zkosené normální rozdělení

Notace: třírozměrné vícerozměrné zkosené normální rozdělení

$SN(\xi,\Omega,\alpha)$

$\xi$ parametr polohy (vektor délky $3$)
$\Omega$ parametr rozptylu a kovariance (matice $3 \times 3$)
$\alpha$ parametr zkosení (vektor délky $3$)

Vrstevnicový graf bivariačního zkosenéhonormálního rozdělení

Bivariační zkosené normální rozdělení

${\xi}={\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}},\quad { \Omega }={\begin{pmatrix} 1 & 0.5 \\ 0.5 & 2 \end{pmatrix}}$, ${\alpha}={\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \end{pmatrix}}$.

Funkce pro zkosené normální rozdělení

Z knihovny sn:

dmsn(x, xi, Omega, alpha)
pmsn(x, xi, Omega, alpha)
rmsn(n, xi, Omega, alpha)
- Je nutné zadat xi, Omega, alpha

Funkce pro zkosené t-rozdělení

Z knihovny sn:

dmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
pmst(x, xi, Omega, alpha, nu)
rmst(n, xi, Omega, alpha, nu )
- Je nutné zadat xi, Omega, alpha, nu (stupně volnosti)

Generování vzorků zkosenéhonormálního rozdělení

Generování 2000 vzorků z 3rozměrného zkosenéhonormálního rozdělení

$ SN\left(\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} \right)$

# Specify xi, Omega and alpha
xi1 <- c(1, 2, -5) 
Omega1 <- matrix(c(1, 1, 0,
                   1, 2, 0,
                   0, 0, 5), 3, 3)
alpha1 <- c(4, 30, -5)

# Generate samples
skew.sample <- rmsn(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1)

Vzorek ze zkosenéhonormálního rozdělení

Generování vzorků zkosenéhot-rozdělení

Generování 2000 vzorků z 3rozměrného zkosenéhot-rozdělení s

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix}, df = 4$

# Generate samples
skewt.sample <- rmst(n = 2000, xi = xi1, Omega = Omega1, alpha = alpha1, nu = 4)

Odhad parametrů z dat

K odhadu parametrů zkosenéhonormálního rozdělení je nutný iterativní algoritmus
- Neexistuje explicitní rovnice pro výpočet parametrů
Balíček sn obsahuje několik funkcí, včetně msn.mle()

Odhad parametrů z dat

msn.mle(y = skew.sample, opt.method = "BFGS")

$dp
$dp$beta
        X1    X2    X3
[1,] 1.024 2.021 -4.81

$dp$Omega
        X1      X2      X3
X1  0.9154  0.8865 -0.1507
X2  0.8865  1.8276 -0.3560
X3 -0.1507 -0.3560  5.0352

$dp$alpha
    X1     X2     X3 
 3.670 28.465 -5.029

Vzorky byly generovány s použitím:

$\xi= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ -5 \end{pmatrix} , \Omega={\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}}, \alpha=\begin{pmatrix} 4 \\ 30 \\ -5 \end{pmatrix} $

Nyní si procvičíme zkosená normální rozdělení!

Multivariate Probability Distributions in R