Poissonova regrese

Bayesovské modelování s RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Normální struktura věrohodnosti

$Y$ = objem (# uživatelů) za daný den
$Y \sim N(m, s^2)$

Technicky vzato...

Normální model předpokládá, že $Y$ má spojitou škálu a může být záporné.
Ale $Y$ je diskrétní počet a nemůže být záporný.

Poissonův model

$Y$ = objem (# uživatelů) za daný den
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ je # nezávislých událostí v pevném intervalu (0, 1, 2,...).
Parametr intenzity $l$ představuje typický # událostí za časový interval
($l > 0$).

Poissonův model

$Y$ = objem (# uživatelů) za daný den
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ je # nezávislých událostí v pevném intervalu (0, 1, 2,...).
Parametr intenzity $l$ představuje typický # událostí za časový interval
($l > 0$).

Poissonův model

$Y$ = objem (# uživatelů) za daný den
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ je # nezávislých událostí v pevném intervalu (0, 1, 2,...).
Parametr intenzity $l$ představuje typický # událostí za časový interval
($l > 0$).

Poissonův model

$Y$ = objem (# uživatelů) za daný den
$Y \sim \text{Pois}(l)$

$Y$ je # nezávislých událostí v pevném intervalu (0, 1, 2,...).
Parametr intenzity $l$ představuje typický # událostí za časový interval
($l > 0$).

Poissonova regrese

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ kde $l_i > 0$

Poissonova regrese

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ kde $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Poissonova regrese

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ kde $l_i > 0$

$l_i = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Problém:
Přímé propojení $l_i$ s lineárním modelem připouští záporné hodnoty $l_i$.

Poissonova regrese

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ kde $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Řešení:
Použijte logaritmickou spojovací funkci pro propojení $l_i$ s lineárním modelem. Pak platí:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Poissonova regrese

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$ kde $l_i > 0$

$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$

$\;$

Řešení:
Použijte logaritmickou spojovací funkci pro propojení $l_i$ s lineárním modelem. Pak platí:

$$l_i = e^{a + b X_i + c Z_i}$$

Poissonova regrese v RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c




}"

Poissonova regrese v RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]





  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Poissonova regrese v RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])

  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Poissonova regrese v RJAGS

$Y_i \sim \text{Pois}(l_i)$
$log(l_i) = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 2^2)$
$c \sim N(0, 2^2)$

poisson_model <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
   Y[i] ~ dpois(l[i])
   log(l[i]) <- a + b[X[i]] + c*Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 2^(-2))
  c ~ dnorm(0, 2^(-2))
}"

Upozornění

$Y \sim \text{Pois}(l_i)$

Předpoklad: U dnů s podobnou teplotou a typem dne se rozptyl $Y_i$ rovná průměru $Y_i$.
Data vykazují potenciální nadměrný rozptyl – rozptyl je větší než průměr.
Tento model není dokonalý, ale je dobrým výchozím bodem.

Let's practice!

Bayesovské modelování s RJAGS