Mnohorozměrná Bayesovská regrese

Bayesovské modelování s RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Modelování objemu

$Y_i$ = objem na stezce (# uživatelů) ve dni $i$

¹ Foto: commons.wikimedia.org

Modelování objemu podle dne v týdnu

$Y_i$ = objem na stezce (# uživatelů) ve dni $i$
$X_i$ = 1 pro pracovní dny, 0 pro víkendy

$\;$

Modelování objemu podle teploty

$Y_i$ = objem na stezce (# uživatelů) ve dni $i$
$Z_i$ = nejvyšší teplota ve dni $i$ (v $^{\circ}$F)

$\;$

Modelování objemu podle teploty a dne v týdnu

$Y_i$ = objem na stezce (# uživatelů) ve dni $i$
$X_i$ = 1 pro pracovní dny, 0 pro víkendy
$Z_i$ = nejvyšší teplota ve dni $i$ (v $^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Víkendy: $m_i = a + c Z_i$

Pracovní dny: $m_i = (a + b) + c Z_i$

Modelování objemu podle teploty a dne v týdnu

$Y_i$ = objem na stezce (# uživatelů) ve dni $i$
$X_i$ = 1 pro pracovní dny, 0 pro víkendy
$Z_i$ = nejvyšší teplota ve dni $i$ (v $^{\circ}$F)

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

$m_i = a + b X_i + c Z_i$

Víkendy: $m_i = a + c Z_i$

Pracovní dny: $m_i = (a + b) + c Z_i$

Modelování objemu podle teploty a dne v týdnu

$m_i = a + bX_i + cZ_i$

Víkendy: $m_i = a + c Z_i$

Pracovní dny: $m_i = (a + b) + c Z_i$

$a$ = průsečík osy y pro víkendy
$a+b$ = průsečík osy y pro prac. dny
$b$ = rozdíl průsečíků prac. dnů vs víkendů

$c$ = společný sklon
$s$ = reziduální směrodatná odchylka

Apriorní rozdělení pro $a$ a $b$

Průsečík vztahu mezi teplotou a víkendovým objemem je nejistý.

Není jisté, jak se typický objem liší v pracovní dny oproti víkendům při stejné teplotě.

Apriorní rozdělení pro $c$ a $s$

V pracovní dny i o víkendech je nejistý vztah mezi objemem na stezce a teplotou.

Typická odchylka od trendu může být stejně pravděpodobně kdekoli mezi 0 a 200 uživateli.

Bayesovský model objemu podle dne v týdnu

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

DEFINOVÁNÍ Bayesovského modelu v RJAGS

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i + c Z_i$
$a \sim N(0, 200^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$c \sim N(0, 20^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_2 <- "model{
  # Likelihood model for Y[i]
  for(i in 1:length(Y)) {
    Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
    m[i] <- a + b[X[i]] + c * Z[i]
  }

  # Prior models for a, b, c, s
  a ~ dnorm(0, 200^(-2))
  b[1] <- 0
  b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))
  c ~ dnorm(0, 20^(-2))
  s ~ dunif(0, 200)
}"

Lass uns üben!

Bayesovské modelování s RJAGS