Bayesovská regrese s kategorickým prediktorem

Bayesovské modelování s RJAGS

Alicia Johnson

Associate Professor, Macalester College

Cíle kapitoly 4

Začlenění kategorických prediktorů do bayesovských modelů
Tvorba multivariátních bayesovských regresních modelů
Rozšíření metodologie normální regrese na zobecněné lineární modely: Poissonova regrese

Objem na stezce

Cíl:
Analýza denního objemu na turistické stezce v Massachusetts.

¹ Foto: commons.wikimedia.org

Modelování objemu

$Y_i$ = objem stezky (# uživatelů) v den $i$ $ \; $
$ \;$

Model
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

Modelování objemu podle dne v týdnu

$Y_i$ = objem stezky (# uživatelů) v den $i$
$X_i$ = 1 pro pracovní dny, 0 pro víkendy

Model
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

Modelování objemu podle dne v týdnu

$Y_i$ = objem stezky (# uživatelů) v den $i$
$X_i$ = 1 pro pracovní dny, 0 pro víkendy

Model
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$

Modelování objemu podle dne v týdnu

$Y_i$ = objem stezky (# uživatelů) v den $i$
$X_i$ = 1 pro pracovní dny, 0 pro víkendy

Model
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + bX_i$

Modelování objemu podle dne v týdnu

$Y_i$ = objem stezky (# uživatelů) v den $i$
$X_i$ = 1 pro pracovní dny, 0 pro víkendy

Model
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + bX_i$

$a$ = typický víkendový objem

$Y_i$ = objem stezky (# uživatelů) v den $i$
$X_i$ = 1 pro pracovní dny, 0 pro víkendy

Model
$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + bX_i$

$a$ = typický víkendový objem
$a + b$ = typický objem ve všední den

$b$ = rozdíl mezi typickým objemem ve všední den a o víkendu
$s$ = reziduální směrodatná odchylka

Apriorní rozdělení pro $a$ a $b$

Typický víkendový objem je nejpravděpodobněji kolem 400 uživatelů za den, ale může být i mezi 100 a 700.

Nemáme jistotu, jak se objem ve všední den porovnává s víkendem. Může být vyšší i nižší.

Apriorní rozdělení pro $s$

$\;$

Směrodatná odchylka objemu ze dne na den (ve všední dny i o víkendech) je stejně pravděpodobně kdekoliv mezi 0 a 200 uživateli.

Bayesovský model objemu podle dne v týdnu

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i$
$a \sim N(400, 100^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

DEFINICE bayesovského modelu v RJAGS

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i$
$a \sim N(400, 100^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]





    # Prior models for a, b, s




}"

DEFINICE bayesovského modelu v RJAGS

$Y_i \sim N(m_i, s^2)$
$m_i = a + b X_i$
$a \sim N(400, 100^2)$
$b \sim N(0, 200^2)$
$s \sim \text{Unif}(0, 200)$

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]
    for(i in 1:length(Y)) {
        Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))

    }

    # Prior models for a, b, s
    a ~ dnorm(400, 100^(-2))
    s ~ dunif(0, 200)


}"

DEFINICE bayesovského modelu v RJAGS

m[i] <- a + b[X[i]]

X[1] = víkend, X[2] = všední den
b má 2 úrovně: b[1], b[2]
víkendový trend ($m_i = a$)
m[i] <- a + b[1]

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]
    for(i in 1:length(Y)) {
        Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
        m[i] <- a + b[X[i]]
    }

    # Prior models for a, b, s
    a ~ dnorm(400, 100^(-2))
    s ~ dunif(0, 200)


}"

DEFINICE bayesovského modelu v RJAGS

m[i] <- a + b[X[i]]

X[1] = víkend, X[2] = všední den
b má 2 úrovně: b[1], b[2]
víkendový trend ($m_i = a$)
m[i] <- a + b[1]
b[1] <- 0

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]
    for(i in 1:length(Y)) {
        Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
        m[i] <- a + b[X[i]]
    }

    # Prior models for a, b, s
    a ~ dnorm(400, 100^(-2))
    s ~ dunif(0, 200)
    b[1] <- 0

}"

DEFINICE bayesovského modelu v RJAGS

m[i] <- a + b[X[i]]

X[1] = víkend, X[2] = všední den
b má 2 úrovně: b[1], b[2]
víkendový trend ($m_i = a$)
m[i] <- a + b[1]
b[1] <- 0
všední den ($m_i = a + b$)
m[i] <- a + b[2]

rail_model_1 <- "model{
    # Likelihood model for Y[i]
    for(i in 1:length(Y)) {
        Y[i] ~ dnorm(m[i], s^(-2))
        m[i] <- a + b[X[i]]
    }

    # Prior models for a, b, s
    a ~ dnorm(400, 100^(-2))
    s ~ dunif(0, 200)
    b[1] <- 0
    b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))
}"

b[2] ~ dnorm(0, 200^(-2))

Pojďme si procvičit!

Bayesovské modelování s RJAGS

Preparing Video For Download...