Více o vlastních číslech a vlastních vektorech

Lineární algebra pro datovou vědu v R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Co se děje?

Jsou-li vlastní čísla $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ matice $A$ navzájem různá a $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n$ jsou příslušné vlastní vektory, pak tato množina vektorů tvoří bázi prostoru $n$-dimenzionálních vektorů.
Jinými slovy, předpokládáme-li, že matice $A$ má bázi vlastních vektorů $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ... \vec{v}_n$ s příslušnými navzájem různými vlastními čísly $\lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_n$, pak každý $n$-dimenzionální vektor lze vyjádřit jako lineární kombinaci těchto vektorů: $$\vec{x} = c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + ... + c_n\vec{v}_n.$$

Co se děje?

Aplikujeme-li matici $A$ na $\vec{x}$ a využijeme-li vztah $A\vec{v}_j = \lambda_j \vec{v}_j,$ dostaneme tento jednoduchý rozklad:

$$A\vec{x} = c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n.$$

Vlastní páry tedy převádějí násobení maticí na lineární kombinaci skalárních násobení!

Iterování matice

Opakujeme-li násobení maticí $A$:

$$A A\vec{x} = $$ $$ = A(c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n)$$ $$ = c_1\lambda_1^2\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^2\vec{v}_n,$$

nebo obecně: $$A^t\vec{x} = c_1\lambda_1^t\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^t\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^t\vec{v}_n.$$

Opakované násobení maticí tedy není totéž co opakované skalární násobení (umocňování)!

Navíc, je-li jedno vlastní číslo větší než ostatní, tyto rozdíly se s rostoucím $t$ zvětšují.

Příklad s frekvencemi alel

print(M)

eigen(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

eigen() decomposition
$`values`
[1] 1.00 0.98 0.97 0.97

$vectors
     [,1] [,2]          [,3]          [,4]
[1,] -0.5  0.5  0.000000e+00  7.071068e-01
[2,] -0.5 -0.5 -7.071068e-01  1.132427e-14
[3,] -0.5 -0.5  7.071068e-01 -2.442491e-15
[4,] -0.5  0.5 -1.382228e-14 -7.071068e-01

print(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

Lambda <- eigen(M)
v1 <- Lambda$vectors[, 1]/sum(Lambda$vectors[, 1])
print(v1)

0.25 0.25 0.25 0.25

Passons à la pratique !

Lineární algebra pro datovou vědu v R