Definice vlastního čísla/vektoru

Lineární algebra pro datovou vědu v R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Definice

Pro matici $A$ je skalár $\lambda$ vlastním číslem matice $A$ s přidruženým vlastním vektorem $\vec{v} \neq \vec{0}$, pokud platí: $$A\vec{v} = \lambda \vec{v}.$$

Jinak řečeno:

Součin $A\vec{v}$ (maticovo-vektorová operace) dává stejný vektor jako $\lambda \vec{v}$ (skalární násobení vektoru).

Tato matice nemusí být stejného typu jako matice z předchozí lekce.

Příklad

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    2    3
[2,]    0    1

Všimněte si, že $\lambda = 2$ je vlastní číslo matice $A$ s vlastním vektorem $\vec{v} = (1, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

Geometrická motivace

Příklad – pokračování

Všimněte si, že $\lambda = 2$ je vlastní číslo matice $A$ s vlastním vektorem $\vec{v} = (1, 0)^T$ _i_ $\vec{v} = (4, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

A%*%c(4,0)

     [,1]
[1,]    8
[2,]    0

2*c(4, 0)

8 0

Pojďme si procvičit!

Lineární algebra pro datovou vědu v R