Řešení maticově-vektorových rovnic

Lineární algebra pro datovou vědu v R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

Řešení $A\vec{x} = \vec{b}$ pomocí $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$:

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

Ověření řešení dosazením $\vec{x}$:

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

Co se rovná zadanému $\vec{b}$:

print(b)

1 -2

Další podmínky pro jednoznačné řešení

Jediné řešení homogenní rovnice $A\vec{x} = \vec{0}$ je tedy triviální řešení $\vec{x} = \vec{0}$.

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

Pokud je $A$ čtvercová matice $n \times n$, jsou následující podmínky ekvivalentní a zaručují jednoznačné řešení $$A\vec{x} = \vec{b}:$$

Matice $A$ má inverzi (je invertibilní)
Determinant matice $A$ je nenulový
Řádky a sloupce matice $A$ tvoří bázi prostoru všech vektorů s $n$ složkami
Homogenní rovnice $A\vec{x} = \vec{0}$ má pouze triviální řešení ($\vec{x} = 0$)

Lineární algebra pro datovou vědu v R