Bayesovo pravidlo

Základy pravděpodobnosti v Pythonu

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Pravděpodobnost dvou hodů mincí

P(A a B) pro nezávislé jevy

$$ $$

$$\color{red}{P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$$

P(A a B) pro závislé jevy

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$

P(A a B) pro závislé jevy (pokrač.)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=P(A)P(B|A)$$ $$P(B\ and\ A)=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A a B) se rovná P(B a A)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A a B) se rovná P(B a A) (pokrač.)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

Bayesův vztah

$$ $$

Bayesovo pravidlo

$$ $$

$$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$ $$ $$\Longrightarrow \large{\color{red}{P(A|B)} = \frac{\color{blue}{P(A)P(B|A)}}{\color{red}{P(B)}}}$$

Úplná pravděpodobnost

Poškozené díly od všech dodavatelů ve Vennově diagramu

$$P(D) = P(V_1\ and\ D) + P(V_2\ and\ D) + P(V_3\ and\ D)$$

Úplná pravděpodobnost (pokrač.)

$$ $$ $$P(D) = \color{red}{P(V_1\ and\ D)} + \color{blue}{P(V_2\ and\ D)} + \color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)}$$

$$\color{red}{P(V_1\ and\ D)} = \color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}$$ $$\color{blue}{P(V_2\ and\ D)} = \color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}$$ $$\color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)} = \color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Úplná pravděpodobnost (pokrač.)

Poškozené díly od všech dodavatelů ve Vennově diagramu

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Bayesův vzorec

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Bayesův vzorec (pokrač.)

Bayesův vzorec:

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Pravděpodobnost, že díl pochází od dodavatele i, pokud je poškozený:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$

Bayesův vzorec (pokrač.)

Bayesův vzorec: $$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
Pravděpodobnost, že díl pochází od dodavatele i, pokud je poškozený:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$ $$ $$ $$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Grafické znázornění Bayesova pravidla

Poškozené díly od všech dodavatelů ve Vennově diagramu

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Grafické znázornění Bayesova pravidla (pokrač.)

Poškozené díly od dodavatele 1 ve Vennově diagramu

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Grafické znázornění Bayesova pravidla (pokrač.)

Poškozené díly od dodavatele 1 ve Vennově diagramu

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Grafické znázornění Bayesova pravidla (pokrač.)

Poškozené díly od dodavatelů 1 a 2 ve Vennově diagramu

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+\color{red}{P(V_2)P(D|V_2)}+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Grafické znázornění Bayesova pravidla (pokrač.)

Poškozené díly od dodavatelů 1, 2 a 3 ve Vennově diagramu

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+\color{red}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Grafické znázornění Bayesova pravidla (pokrač.)

Poškozené díly od dodavatelů 1, 2 a 3 ve Vennově diagramu

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Grafické znázornění Bayesova pravidla (pokrač.)

Poškozené díly od dodavatelů 1, 2 a 3 ve Vennově diagramu

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Grafické znázornění Bayesova pravidla (pokrač.)

Poškozené díly od dodavatele 1 ku poškozeným dílům od dodavatelů 1, 2 a 3 ve Vennově diagramu

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{...}$$

Grafické znázornění Bayesova pravidla (pokrač.)

Poškozené díly od dodavatele 1 ku poškozeným dílům od dodavatelů 1, 2 a 3 ve Vennově diagramu

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Příklad s továrnami a díly v Pythonu

Určitý elektronický díl vyrábějí tři různí dodavatelé: V1, V2 a V3.

Půli dílů vyrábí V1, V2 a V3 vyrábějí každý 25 %. Pravděpodobnost poškození dílu od V1 je 1 %, od V2 je 2 % a od V3 je 3 %.

Jaká je pravděpodobnost, že poškozený díl pochází od V1?

Příklad s továrnami a díly v Pythonu (pokrač.)

Zjistěte pravděpodobnost, že poškozený díl pochází od V1.

P_V1 = 0.5
P_V2 = 0.25
P_V3 = 0.25

P_D_g_V1 = 0.01
P_D_g_V2 = 0.02
P_D_g_V3 = 0.03

P_Damaged = P_V1 * P_D_g_V1 + P_V2 * P_D_g_V2 + P_V3 * P_D_g_V3

Příklad s továrnami a díly v Pythonu (pokrač.)

P_V1_g_D = (P_V1 * P_D_g_V1) / P_Damaged # P(V1|D) calculation
print(P_V1_g_D)

Pravděpodobnost, že náhodně vybraný poškozený díl pochází od V1:

0.285714285714

Procvičme si Bayesův vzorec

Základy pravděpodobnosti v Pythonu