Przekształcanie problemów nieliniowych

Wprowadzenie do optymalizacji w Pythonie

Jasmin Ludolf

Content Developer

Maksymalizacja funkcji nieliniowej

  • Artysta produkuje do 16 obrazów przy koszcie $C(q) = \sqrt q$, gdzie $q$ to ilość
  • Odwrócony popyt: $p=\frac{3}{\sqrt q}$, gdzie $p$ to cena
  • $\max \Pi = pq - C=\frac{3}{\sqrt q}q-\sqrt q = 2\sqrt q$

$$\max 2\sqrt q$$

$$s.t. \ \ \ \ q\leq 16 $$

Kobieta malująca na płótnie

Wprowadzenie do optymalizacji w Pythonie

SciPy czy PuLP?

  • SciPy: milp wymaga liniowej funkcji celu
  • PuLP:
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
q = LpVariable('q', lowBound=0, upBound=16)
model += 2 * q**(1/2)

--> 3 model += 2 * q**(1/2)

TypeError: unsupported operand type(s) for ** or pow(): 'LpVariable' and 'float'
Wprowadzenie do optymalizacji w Pythonie

Podstawienie jako metoda linearyzacji

  • Podstaw $z = \sqrt q$
  • $\rightarrow$ $\Pi=2\sqrt q =2z$
  • $\rightarrow$ ograniczenie pojemności $z^2\leq 16\Leftrightarrow z\leq 4$
model = LpProblem('Artist', LpMaximize)
z = LpVariable('z', lowBound=0, upBound=4, cat='Integer')
model += 2 * z

model.solve() 
print(f"Solution is {LpStatus[model.status]}.")
print(f"The optimal number of paintings is {round(z.varValue**2)}.")

Solution is Optimal. 
The optimal number of paintings is 16.
Wprowadzenie do optymalizacji w Pythonie

Budżetowanie kapitałowe z projektami zależnymi

Opis problemu

  • Projekty $A$, $B$, $C$; $A$ jest warunkiem wstępnym dla $B$
  • Zyski wynoszą odpowiednio $V$ = [250, 200, 300]
  • Wymagane inwestycje $I$ = [2000, 1900, 2500], dostępne tylko $4600

Modelowanie

  • $o_A$, $o_B$, $o_C$ zmienne binarne; wskazują wybór projektu

$\max\ \ o_AV_A + o_Ao_BV_B + o_CV_C$

$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_Ao_BI_B + o_CI_C\leq 4600$

Ikona zarządzania budżetem

Wprowadzenie do optymalizacji w Pythonie

Linearyzacja: iloczyn zmiennych binarnych

  • Zastąp $o_Ao_B=o_{AB}$
  • Dodaj ograniczenia
    • $o_{AB}\leq o_{A}$
    • $o_{AB}\leq o_{B}$
    • $o_{AB}\geq o_{A} + o_{B} -1$
  • Problem redukuje się do

$$\max\ \ o_AV_A + o_{AB}V_B + o_CV_C$$

$$s.t.\ \ \ \ o_AI_A + o_{AB}I_B + o_CI_C\leq 4600$$

$$ o_{A} + o_{B} -1 \leq o_{AB}\leq o_{A}, o_{B}$$

Wprowadzenie do optymalizacji w Pythonie

Przydział zasobów z kosztem szkolenia

  • Przydziel 120 zadań minimalizując koszt
  • Starszy ($S$), młodszy ($J$) i stażysta ($I$)
  • Koszt szkolenia stażysty: $500
  • Koszt realizacji zadania $c$ = [30, 40, 5]
  • Wektor $x$: optymalnie przydzielone zadania
  • Binarna $o$: czy stażysta odbywa szkolenie
  • $TC = 30x_S+40x_J+(5x_I+500)o$

Osoba z ołówkiem stoi obok dużej listy zadań

Wprowadzenie do optymalizacji w Pythonie

Linearyzacja: iloczyn binarnej i ciągłej

  • Metoda BigM wprowadza dużą liczbę M
  • Zastępuje iloczyn przez $z = (5x_I+500)o$
  • Narzuca
    • $-oM\leq z \leq oM$
    • $-(1-o)M \leq z- (5x_I+500)o \leq (1-o)M$
Wprowadzenie do optymalizacji w Pythonie

Czas na ćwiczenia!

Wprowadzenie do optymalizacji w Pythonie

Preparing Video For Download...