Wypukła optymalizacja z ograniczeniami

Wprowadzenie do optymalizacji w Pythonie

Jasmin Ludolf

Content Developer

Wypukła optymalizacja z ograniczeniami

Funkcja wypukła.

Ograniczenie: limituje zmienne
Krzywa obojętności: reprezentuje kombinację zmiennych
Znajdź punkt na krzywej obojętności minimalizujący lub maksymalizujący funkcję celu

Krzywa obojętności

Młoda kobieta z ciemnymi włosami pracuje przy laptopie

Niezależna inżynier oprogramowania
Ceni pracę ($w$) i czas wolny ($l$)

Funkcja użyteczności:

$U(w, l)=w^{0.4}l^{0.6}$

Rysowanie krzywej obojętności

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt


w = np.linspace(1, 30, 100)  
l = np.linspace(1, 30, 100)

W, L = np.meshgrid(w, l)

F = W**0.4 * L**0.6


plt.figure(figsize=(8, 6))

contours = plt.contour(W, L, F, levels=[5, 10, 15, 20])

plt.clabel(contours)

plt.title('Indifference Curves for the function: w**0.4 * l**0.6')
plt.xlabel('w')
plt.ylabel('l')
plt.grid(True)
plt.show()

Krzywa obojętności

Wizualizacja krzywej obojętności

Aleksia jest obojętna na konkretną kombinację $w$ i $l$

Ograniczenie czasowe

24 godziny na dobę
Liniowe ograniczenie równościowe

$$ \max_{w,l} w^{0.4}l^{0.6}$$ $$s.t.\ \ \ w+l = 24$$

Dodaj ograniczenie do wykresu:
- l = 24 - w
- plt.plot(w, l, color='red')

Krzywa obojętności i ograniczenie liniowe. Krzywa obojętności na optymalnym poziomie jest styczna do ograniczenia. W punkcie styczności gradient jest prostopadły do ograniczenia i stycznej.

Rozwiązanie z SciPy

def utility_function(vars):
    w, l = vars
    return -(w**0.4 * l**0.6)


def constraint(vars):
    return 24 - np.sum(vars)


initial_guess = [12, 12]
constraint_definition = {'type': 'eq', 'fun': constraint}
result = minimize(utility_function, initial_guess, constraints=constraint_definition)
print(result.x)

[ 9.60001122 14.39998878]

Ćwiczmy!

Wprowadzenie do optymalizacji w Pythonie