Więcej o wartościach i wektorach własnych

Algebra liniowa dla data science w R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Co się tu dzieje?

Jeśli wartości własne $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ macierzy $A$ są różne, a $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n$ to zbiór odpowiadających im wektorów własnych, to wektory te tworzą bazę przestrzeni wektorów $n$-wymiarowych.
Innymi słowy, jeśli macierz $A$ posiada bazę wektorów własnych $\vec{v}_1, \vec{v}_2, ... \vec{v}_n$ z różnymi wartościami własnymi $\lambda_1, \lambda_2, ... \lambda_n$, to każdy wektor $n$-wymiarowy można wyrazić jako kombinację liniową tych wektorów: $$\vec{x} = c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + ... + c_n\vec{v}_n.$$

Co się tu dzieje?

Mnożąc macierz $A$ przez $\vec{x}$ i korzystając z faktu, że $A\vec{v}_j = \lambda_j \vec{v}_j$, otrzymujemy następujący prosty rozkład:

$$A\vec{x} = c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n.$$

Pary własne (wartość, wektor) sprowadzają mnożenie macierzowe do kombinacji liniowej mnożeń skalarnych!

Iterowanie macierzy

Iteracyjne mnożenie przez macierz $A$:

$$A A\vec{x} = $$ $$ = A(c_1\lambda_1\vec{v}_1 + c_2\lambda_2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n\vec{v}_n)$$ $$ = c_1\lambda_1^2\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^2\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^2\vec{v}_n,$$

a ogólnie: $$A^t\vec{x} = c_1\lambda_1^t\vec{v}_1 + c_2\lambda_2^t\vec{v}_2 + ... + c_n\lambda_n^t\vec{v}_n.$$

Iteracyjne mnożenie macierzowe odpowiada potęgowaniu skalarnemu!

Jeśli jedna z wartości własnych jest większa od pozostałych, różnice te będą narastać wraz ze wzrostem $t$.

Przykład z częstościami alleli

print(M)

eigen(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

eigen() decomposition
$`values`
[1] 1.00 0.98 0.97 0.97

$vectors
     [,1] [,2]          [,3]          [,4]
[1,] -0.5  0.5  0.000000e+00  7.071068e-01
[2,] -0.5 -0.5 -7.071068e-01  1.132427e-14
[3,] -0.5 -0.5  7.071068e-01 -2.442491e-15
[4,] -0.5  0.5 -1.382228e-14 -7.071068e-01

print(M)

      [,1]  [,2]  [,3]  [,4]
[1,] 0.980 0.005 0.005 0.010
[2,] 0.005 0.980 0.010 0.005
[3,] 0.005 0.010 0.980 0.005
[4,] 0.010 0.005 0.005 0.980

Lambda <- eigen(M)
v1 <- Lambda$vectors[, 1]/sum(Lambda$vectors[, 1])
print(v1)

0.25 0.25 0.25 0.25

Czas na ćwiczenia!

Algebra liniowa dla data science w R