Definicja wartości/wektora własnego

Algebra liniowa dla data science w R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

Definicja

Dla macierzy $A$ skalar $\lambda$ jest wartością własną $A$, ze skojarzonym wektorem własnym $\vec{v} \neq \vec{0}$, jeśli zachodzi: $$A\vec{v} = \lambda \vec{v}.$$

Innymi słowy:

Mnożenie macierzowe $A\vec{v}$, operacja macierz–wektor, daje ten sam wynik co $\lambda \vec{v}$ — skalarne mnożenie wektora.

Ta macierz nie musi być taka jak macierze z poprzedniego wykładu.

Przykład

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    2    3
[2,]    0    1

Zauważmy, że $\lambda = 2$ jest wartością własną $A$ z wektorem własnym $\vec{v} = (1, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

Interpretacja geometryczna

Przykład – ciąg dalszy

Zauważmy, że $\lambda = 2$ jest wartością własną $A$ z wektorami własnymi $\vec{v} = (1, 0)^T$ _i_ $\vec{v} = (4, 0)^T$:

A%*%c(1,0)

     [,1]
[1,]    2
[2,]    0

2*c(1, 0)

2 0

A%*%c(4,0)

     [,1]
[1,]    8
[2,]    0

2*c(4, 0)

8 0

Czas na ćwiczenia!

Algebra liniowa dla data science w R