Rozwiązywanie równań macierzowo-wektorowych

Algebra liniowa dla data science w R

Eric Eager

Data Scientist at Pro Football Focus

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

print(b)

1 -2

Rozwiązywanie $A\vec{x} = \vec{b}$ przy użyciu $\vec{x} = A^{-1}\vec{b}$:

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

x <- solve(A)%*%b
print(x)

     [,1]
[1,]  0.0
[2,] -0.5

Weryfikacja rozwiązania przez podstawienie $\vec{x}$:

A%*%x

    [,1]
[1,]    1
[2,]   -2

Co jest równe danemu $\vec{b}$:

print(b)

1 -2

Dodatkowe warunki jednoznaczności rozwiązań

Jedynym rozwiązaniem równania jednorodnego $A\vec{x} = \vec{0}$ jest rozwiązanie trywialne $\vec{x} = \vec{0}$.

print(A)

     [,1] [,2]
[1,]    1   -2
[2,]    0    4

b <- rep(0, 2)
print(b)

0 0

solve(A)%*%b

     [,1]
[1,]    0
[2,]    0

Jeśli $A$ jest kwadratową macierzą $n$ na $n$, poniższe warunki są równoważne i gwarantują jednoznaczne rozwiązanie $$A\vec{x} = \vec{b}:$$

Macierz $A$ ma odwrotność (jest odwracalna)
Wyznacznik macierzy $A$ jest niezerowy
Wiersze i kolumny macierzy $A$ tworzą bazę przestrzeni wszystkich wektorów $n$-elementowych
Równanie jednorodne $A\vec{x} = \vec{0}$ ma tylko rozwiązanie trywialne ($\vec{x} = 0$)

Algebra liniowa dla data science w R