Reguła Bayesa

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa w Pythonie

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Prawdopodobieństwo dwóch rzutów monetą

P(A i B) dla zdarzeń niezależnych

$$ $$

$$\color{red}{P(A\ and\ B)=P(A)P(B)}$$

P(A i B) dla zdarzeń zależnych

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$

P(A i B) dla zdarzeń zależnych (cd.)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$P(A\ and\ B)=P(A)P(B|A)$$ $$P(B\ and\ A)=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A i B) jest równe P(B i A)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

P(A i B) jest równe P(B i A) (cd.)

$$ $$

$$P(A\ and\ B)=P(A)P(B)$$ $$\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{blue}{P(A)P(B|A)}$$ $$\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{gray}{P(A\ and\ B)}=\color{gray}{P(B\ and\ A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$

Relacja Bayesa

$$ $$

Reguła Bayesa

$$ $$

$$\color{blue}{P(A)P(B|A)}=\color{red}{P(B)P(A|B)}$$ $$ $$ $$\Longrightarrow \large{\color{red}{P(A|B)} = \frac{\color{blue}{P(A)P(B|A)}}{\color{red}{P(B)}}}$$

Prawdopodobieństwo całkowite

Uszkodzone części od wszystkich dostawców na diagramie Venna

$$P(D) = P(V_1\ and\ D) + P(V_2\ and\ D) + P(V_3\ and\ D)$$

Prawdopodobieństwo całkowite (cd.)

$$ $$ $$P(D) = \color{red}{P(V_1\ and\ D)} + \color{blue}{P(V_2\ and\ D)} + \color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)}$$

$$\color{red}{P(V_1\ and\ D)} = \color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}$$ $$\color{blue}{P(V_2\ and\ D)} = \color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}$$ $$\color{#9FAAC3}{P(V_3\ and\ D)} = \color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Prawdopodobieństwo całkowite (cd.)

Uszkodzone części od wszystkich dostawców na diagramie Venna

$$P(D)=\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}$$

Wzór Bayesa

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Wzór Bayesa (cd.)

Wzór Bayesa:

$$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$

Prawdopodobieństwo, że część pochodzi od dostawcy i, przy założeniu że jest uszkodzona:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$

Wzór Bayesa (cd.)

Wzór Bayesa: $$P(A|B) = \frac{P(A)P(B|A)}{P(B)}$$
Prawdopodobieństwo, że część pochodzi od dostawcy i, przy założeniu że jest uszkodzona:

$$P(V_i|D) = \frac{P(V_i)P(D|V_i)}{P(D)}$$ $$ $$ $$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Wizualizacja reguły Bayesa

Uszkodzone części od wszystkich dostawców na diagramie Venna

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Wizualizacja reguły Bayesa (cd.)

Uszkodzone części od dostawcy 1 na diagramie Venna

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Wizualizacja reguły Bayesa (cd.)

Uszkodzone części od dostawcy 1 na diagramie Venna

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Wizualizacja reguły Bayesa (cd.)

Uszkodzone części od dostawców 1 i 2 na diagramie Venna

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+\color{red}{P(V_2)P(D|V_2)}+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Wizualizacja reguły Bayesa (cd.)

Uszkodzone części od dostawców 1, 2 i 3 na diagramie Venna

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+\color{red}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Wizualizacja reguły Bayesa (cd.)

Uszkodzone części od dostawców 1, 2 i 3 na diagramie Venna

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Wizualizacja reguły Bayesa (cd.)

Uszkodzone części od dostawców 1, 2 i 3 na diagramie Venna

$$P(V_1|D) = \frac{P(V_1)P(D|V_1)}{P(V_1)P(D|V_1)+P(V_2)P(D|V_2)+P(V_3)P(D|V_3)}$$

Wizualizacja reguły Bayesa (cd.)

Uszkodzone części od dostawcy 1 względem uszkodzonych części od dostawców 1, 2 i 3 na diagramie Venna

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{...}$$

Wizualizacja reguły Bayesa (cd.)

Uszkodzone części od dostawcy 1 względem uszkodzonych części od dostawców 1, 2 i 3 na diagramie Venna

$$P(V_1|D) = \frac{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}}{\color{red}{P(V_1)P(D|V_1)}+\color{blue}{P(V_2)P(D|V_2)}+\color{#9FAAC3}{P(V_3)P(D|V_3)}}$$

Przykład: fabryki i części w Pythonie

Pewna część elektroniczna jest wytwarzana przez trzech dostawców: V1, V2 i V3.

Połowę części produkuje V1, a V2 i V3 po 25% każdy. Prawdopodobieństwo uszkodzenia części wyprodukowanej przez V1 wynosi 1%, przez V2 – 2%, a przez V3 – 3%.

Jeśli część jest uszkodzona, jakie jest prawdopodobieństwo, że wyprodukował ją V1?

Przykład: fabryki i części w Pythonie (cd.)

Jeśli część jest uszkodzona, oblicz prawdopodobieństwo, że wyprodukował ją V1.

P_V1 = 0.5
P_V2 = 0.25
P_V3 = 0.25

P_D_g_V1 = 0.01
P_D_g_V2 = 0.02
P_D_g_V3 = 0.03

P_Damaged = P_V1 * P_D_g_V1 + P_V2 * P_D_g_V2 + P_V3 * P_D_g_V3

Przykład: fabryki i części w Pythonie (cd.)

P_V1_g_D = (P_V1 * P_D_g_V1) / P_Damaged # P(V1|D) calculation
print(P_V1_g_D)

Losowo wybrana uszkodzona część pochodzi od V1 z prawdopodobieństwem:

0.285714285714

Ćwiczenia z regułą Bayesa

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa w Pythonie