Wartość oczekiwana, średnia i wariancja

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa w Pythonie

Alexander A. Ramírez M.

CEO @ Synergy Vision

Wartość oczekiwana

Wartość oczekiwana: suma możliwych wyników ważona ich prawdopodobieństwem.

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$

Wartość oczekiwana dyskretnej zmiennej losowej to suma możliwych wyników ważona ich prawdopodobieństwem.

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$

Dla rzutu monetą otrzymujemy:

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = \color{red}{0\times (1-p)} + 1\times p = p $$

Wartość oczekiwana dyskretnej zmiennej losowej to suma możliwych wyników ważona ich prawdopodobieństwem.

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{k} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k $$

Dla rzutu monetą otrzymujemy:

$$ E(X) = \sum_{i=1}^{2} x_ip_i = x_1p_1 + x_2p_2 = 0\times (1-p) + \color{red}{1\times p} = p $$

Każde $x_i$ to wynik jednego eksperymentu (tj. rzutu monetą: 0 lub 1).

$$ \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{1}{n}(x_1+x_2+\cdots +x_n) $$

W Pythonie używamy funkcji scipy.stats.describe() do obliczenia średniej arytmetycznej.

from scipy.stats import describe
describe([0,1]).mean

0.5

Wykres średniej próbki dla 100 rzutów symetryczną monetą

Wykres średniej próbki dla 1000 rzutów symetryczną monetą

Wykres średniej próbki dla 10000 rzutów symetryczną monetą

Wariancja jest miarą rozproszenia.

Jest to wartość oczekiwana kwadratu odchylenia od wartości oczekiwanej.

$$ Var(X) = E[(X - E(X))^2] = \sum_{i=1}^{n}p_i \times (x_i-E(X))^2 $$

W Pythonie używamy funkcji scipy.stats.describe() do obliczenia wariancji próbki.

describe([0,1]).variance

0.5

Dla $X\sim Binomial(n, p)$

$$ E(X) = n \times p $$

$$ Var(X) = n \times p \times (1-p) $$

Przykład: $n=10$ i $p=0.5$

W Pythonie używamy metody binom.stats() do uzyskania wartości oczekiwanej i wariancji.

binom.stats(n=10, p=0.5)

(array(5.), array(2.5))

Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja dla jednego rzutu symetryczną monetą?

binom.stats(n=1, p=0.5)

(array(0.5), array(0.25))

Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja dla jednego rzutu stronniczą monetą z prawdopodobieństwem sukcesu 30%?

binom.stats(n=1, p=0.3)

(array(0.3), array(0.21))

Jaka jest wartość oczekiwana i wariancja dla 10 rzutów symetryczną monetą?

binom.stats(n=10, p=0.5)

(array(5.), array(2.5))

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa w Pythonie