Teoria wartości ekstremalnych

Ilościowe zarządzanie ryzykiem w Pythonie

Jamsheed Shorish

Computational Economist

Wartości ekstremalne

Wartości ekstremalne: z ogona rozkładu
- Straty ogonowe: straty przekraczające pewną wartość
- Modelowanie strat ogonowych => lepsza kontrola ryzyka

odcinek czasowy od 0 do T

odcinek od 0 do T podzielony na podinterwały

Teoria wartości ekstremalnych: rozkład statystyczny wartości ekstremalnych
Maksima blokowe:
- Podział okresu na podokresy
- Utworzenie bloku z każdego podokresu

wykres odcinka czasowego z blokami

Teoria wartości ekstremalnych: rozkład statystyczny wartości ekstremalnych
Maksima blokowe:
- Podział okresu na podokresy
- Utworzenie bloków z każdego podokresu
- Zbiór maksimów blokowych = zbiór danych
Wartości szczytowe ponad próg (POT):
- Wyszukanie wszystkich strat powyżej danego poziomu
- Zbiór takich strat = zbiór danych

odcinek z blokami i maksymalną stratą w każdym bloku

Przykład: Maksima blokowe dla lat 2007–2009
- Ponowne próbkowanie strat z wybranym okresem (np. tygodniowym)
```
maxima = losses.resample("W").max()
```
Uogólniony rozkład wartości ekstremalnych (GEV)
- Rozkład maksimów danych
- Przykład: estymacja parametryczna z użyciem scipy.stats.genextreme
```
from scipy.stats import genextreme
params = genextreme.fit(maxima)
```

99% VaR z rozkładu GEV
- Użycie .ppf() do wyznaczenia 99% VaR
- Wymaga params z dopasowanego rozkładu GEV
- Wyznacza maksymalną stratę w ciągu tygodnia przy 99% ufności
99% CVaR z rozkładu GEV
- CVaR to warunkowa wartość oczekiwana straty przy VaR jako stracie minimalnej
- Użycie metody .expect() do obliczenia wartości oczekiwanej

VaR_99 = genextreme.ppf(0.99, *params)

CVar_99 = ( 1 / (1 - 0.99) ) * genextreme.expect(lambda x: x, *params, lb = VaR_99)

Zarządzanie ryzykiem: pokrywanie strat
- Wymóg regulacyjny (banki, ubezpieczenia)
- Rezerwy muszą pokrywać straty
  - W określonym przedziale czasu (np. tydzień)
  - Przy określonym poziomie ufności (np. 99%)
VaR z rozkładu GEV:
- szacuje maksymalną stratę
  - w danym okresie
  - przy danym poziomie ufności

Przykład: Początkowa wartość portfela = 1 000 000 USD
Tygodniowy wymóg rezerwy przy 99% ufności
- $\text{VaR}_{99}$ z rozkładu GEV: maksymalna strata w ciągu tygodnia przy 99% ufności
Wymóg rezerwy: wartość portfela × $\text{VaR}_{99}$
- Zakładając $\text{VaR}_{99}$ = 0,10, tj. maksymalna strata 10%
- Wymóg rezerwy = 100 000 USD
Wartość portfela zmienia się => wymóg rezerwy zmienia się
Regulacje określają częstotliwość aktualizacji wymogu rezerwy

Ilościowe zarządzanie ryzykiem w Pythonie