Estymacja modelu i wiarygodność

Wprowadzenie do modelowania liniowego w Pythonie

Jason Vestuto

Data Scientist

Estymacja

Wykres histogramu: znormalizowane liczności a przedziały odległości; dane jako szare słupki, model jako czerwona krzywa Gaussa dopasowana do ich szczytów

Estymacja

# Define gaussian model function
def gaussian_model(x, mu, sigma):
    coeff_part = 1/(np.sqrt(2 * np.pi * sigma**2))
    exp_part = np.exp( - (x - mu)**2 / (2 * sigma**2) )
    return coeff_part*exp_part

# Compute sample statistics
mean = np.mean(sample)
stdev = np.std(sample)

# Model the population using sample statistics
population_model = gaussian(sample, mu=mean, sigma=stdev)

Wiarygodność a prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo warunkowe: $P( \text{outcome A} | \text{given B})$
Prawdopodobieństwo: $P( \text{data} | \text{model} )$
Wiarygodność: $L( \text{model} | \text{data} )$

Obliczanie wiarygodności

Wykres prawdopodobieństwa a odległości jako czerwona krzywa Gaussa z punktem przy lewej krawędzi i odcinkami łączącymi go z każdą osią

Obliczanie wiarygodności

Wykres prawdopodobieństwa a odległości jako czerwona krzywa Gaussa z 6 punktami od lewej krawędzi ku środkowi i odcinkami łączącymi każdy punkt z obiema osiami

Wiarygodność z prawdopodobieństw

# Guess parameters
mu_guess = np.mean(sample_distances)
sigma_guess = np.std(sample_distances)

# For each sample point, compute a probability
probabilities = np.zeros(len(sample_distances))
for n, distance in enumerate(sample_distances):
    probabilities[n] = gaussian_model(distance, mu=mu_guess, sigma=sigma_guess)

likelihood = np.product(probs)
loglikelihood = np.sum(np.log(probs))

Estymacja największej wiarygodności

# Create an array of mu guesses
low_guess = sample_mean - 2*sample_stdev
high_guess = sample_mean + 2*sample_stdev
mu_guesses = np.linspace(low_guess, high_guess, 101)

# Compute the loglikelihood for each guess
loglikelihoods = np.zeros(len(mu_guesses))
for n, mu_guess in enumerate(mu_guesses):
    loglikelihoods[n] = compute_loglikelihood(sample_distances, mu=mu_guess, sigma=sample_stdev)

# Find the best guess
max_loglikelihood = np.max(loglikelihoods)
best_mu = mu_guesses[loglikelihoods == max_loglikelihood]

Estymacja największej wiarygodności

Wykres odwróconej paraboli z czerwonym punktem w maksimum, na osiach: log-wiarygodność a wartości mu

Czas na ćwiczenia!

Wprowadzenie do modelowania liniowego w Pythonie