Rozkład normalny

Ilościowe zarządzanie ryzykiem w R

Alexander McNeil

Professor, University of York

Definicja rozkładu normalnego

  • Jeśli czynniki ryzyka podlegają GBM, log-zwroty powinny być niezależne i normalne
  • Czy tak jest?
  • Zmienna x ma rozkład normalny, jeśli jej gęstość wynosi:

$$f_X(x) = {{1} \over {\sigma \sqrt{2\pi}}} e^{-{{(x-\mu)^2} \over {\sigma ^ 2}}} $$

  • Zależy od dwóch parametrów: $\mu$ i $\sigma$
Ilościowe zarządzanie ryzykiem w R

Właściwości rozkładu normalnego

  • $\mu$ to średnia, a $\sigma ^ 2$ to wariancja
  • Standardowy zapis: $X \sim N(\mu,\sigma ^2)$
  • Parametry łatwo szacować na podstawie danych
  • Suma co najmniej 2 niezależnych zmiennych normalnych jest również normalna
Ilościowe zarządzanie ryzykiem w R

Centralne twierdzenie graniczne (CTG)

Ilościowe zarządzanie ryzykiem w R

Szacowanie rozkładu normalnego

  • Dane: $X_1,...,X_n$
  • Metoda momentów:

$$\hat{\mu} = {1 \over n} {\sum_{t=1}^n}X_t $$

$$\hat{\sigma}^2_u = {1 \over {n - 1}} {\sum_{t=1}^n}(X_t - \hat{\mu})^2 $$

  • Zastosowanie do log-zwrotów FTSE z lat 2008–09
Ilościowe zarządzanie ryzykiem w R

Przykład FTSE

head(ftse)

-0.09264548 -0.08178433 -0.07428657 -0.05870079 -0.05637430 -0.05496918

tail(ftse)

0.05266208 0.06006960 0.07742977 0.07936751 0.08469137 0.09384244

mu <- mean(ftse)
sigma <- sd(ftse)
c(mu, sigma)

-0.0003378627  0.0194090385
Ilościowe zarządzanie ryzykiem w R

Dopasowany rozkład normalny

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)

lines(ftse, dnorm(ftse, mean = mu, sd = sigma), col = "red")

Ilościowe zarządzanie ryzykiem w R

Czas na ćwiczenia!

Ilościowe zarządzanie ryzykiem w R

Preparing Video For Download...