Rozkład t-Studenta

Ilościowe zarządzanie ryzykiem w R

Alexander McNeil

Professor, University of York

Rozkład t-Studenta

$$f_X(x) = \frac{\Gamma({\frac{\nu+1}{2}})}{\sigma \sqrt{\nu\pi} \, \Gamma(\frac{\nu}{2})}{\left(1 + \frac{({x- \mu})^2} {\nu \sigma ^ 2}\right)}^{-\frac{\nu + 1}{2}} $$

Rozkład ma trzy parametry: $\mu, \sigma, \nu$
Małe wartości $\nu$ dają cięższe ogony
Gdy $\nu$ rośnie, rozkład dąży do normalnego

Dopasowanie rozkładu t-Studenta

Metoda największej wiarygodności (ML)
fit.st() w pakiecie QRM
Mała wartość $\nu$ (2.95) dla log-zwrotów FTSE z lat 2008–09

library(QRM)

tfit <- fit.st(ftse)
tpars <- tfit$par.ests
tpars

          nu             mu          sigma
2.949514e+00   4.429863e-05   1.216422e-02

nu <- tpars[1]
mu <- tpars[2]
sigma <- tpars[3]

Wizualizacja dopasowanego rozkładu t-Studenta

hist(ftse, nclass = 20, probability = TRUE)
lines(ftse, dnrom(ftse, mean = mean(ftse), sd = sd(ftse)), col = "red")

yvals <- dt((ftse - mu)/sigma, df = nu)/sigma
lines(ftse, yvals, col = "blue")

Czas na ćwiczenia!

Ilościowe zarządzanie ryzykiem w R